根据奥运五环编的题

等待hxh

isee

8个圆，有点意思。

附个解答来看看。

等待hxh

自编的题我是没有发解答的习惯，解答在脑中，会做的可以和我交流，只是想看解答的，我通常都无视！

郝酒

有点意思，题主不知道从何书化来，贴个背景交流一下：）

其妙

有点意思，题主不知道从何书化来，贴个背景交流一下：）
郝酒 发表于 2014-5-18 18:29

一晃眼看成：施主不知从何处化缘来，……

kuing

闲来无事想了下这道题，发现并没有想象中那么难。（总是深夜灵感好……
$\newcommand\hu\overparen$
首先把“五环”这个吓人的外壳解开，为此，先打开《撸题集》翻到第 57 至 58 页题目 1.2.14，由该题及我的证明的开头可以知道，有以下结论：

如下图（左），圆 `O_1`, `O_2` 为相交定圆，`P_1`, `P_2` 为动点且直线 `P_1P_2` 经过两圆的某个交点，则两动点在各自的圆上的角速度相等。
（其实都不用翻《撸题集》，上面的划掉，理由一眼就能看出来：
因为 `\angle O_1AP_1+\angle O_2AP_2=180\du-\angle O_1AO_2` 为定值，则 `\angle P_1O_1A+\angle P_2O_2A` 也为定值，这就说明了角速度相等）

由此立得推论：如上图（右），若 `P_1`, `P_3` 运动时保持 `\hu{P_1P_3}` 为定值，则 `\hu{P_2P_4}` 也为定值。
（注：此推论中两线段相交与否都无所谓）

回到原题，先看前两个圆，可看作上述推论中的 `P_1`, `P_3` 重合为 `P`，即 `\hu{P_1P_3}` 恒为零，所以 `\hu{I_1J_1}` 为定值，然后接着对后面的圆链不断使用推论，即得 `\hu{I_iJ_i}`（`i=1`, `2`, `3`, `4`）均为定值。


（注：由于推论中两圆的半径不必相等，因此原题中的圆半径也不必相等，所以上图我画得很随意，有大有小的）

现在看上图的最后一个圆，因为 `Q`, `R` 是定点，则由 `\hu{I_4J_4}` 为定值可知直线 `RJ_4` 到直线 `QI_4` 的到角为定值，设两直线的交点为 `X`，那么 `X` 的轨迹是一个圆，并且这个圆经过 `Q`, `R`（上图中的红色虚线圆）。

这样，问题最终化归为如下命题：

定圆上有两定点 `Q`, `R` 及一动点 `X`，直线 `XQ`, `XR` 分别交定直线 `L_0` 于 `M`, `N`，求证以 `MN` 为直径的圆与两定圆相切（或过两定点）。

至此，“五环”外壳成功解开，然而剩下的这个命题也并不容易证明，时间关系明天待续……

isee

回复 6# kuing

开壳后，简洁多了

kuing

回复 6# kuing

续：现在来证剩下那命题，几何法暂时找不到，上代数吧……

通过代数计算我发现：当 `Q`, `R` 位于 `L_0` 同侧时命题成立，但是如果位于异侧，用几何画板画了下似乎并不成立，如果真是如此，那原题也需要补上同侧的条件。

下面假定 `Q`, `R` 位于 `L_0` 同侧，建系使 `L_0` 为 `y` 轴，设 `Q(x_1,y_1)`, `R(x_2,y_2)`，则 `x_1x_2>0`，设直线 `XQ`, `XR` 的斜率分别为 `k_1`, `k_2`，依题设，由到角公式，有\[\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}=c\]为定值，易得 `M`, `N` 的纵坐标分别为
\begin{align*}
y_M&=y_1-k_1x_1,\\
y_N&=y_2-k_2x_2,
\end{align*}
以 `MN` 为直径的圆的方程为
\[x^2+\left(y-\frac{y_M+y_N}2\right)^2=\left(\frac{y_M-y_N}2\right)^2,\]
下面证明此圆与以下两圆相切
\[\left( x\pm\frac1c\sqrt{(c^2+1)x_1x_2} \right)^2+\left( y-\frac{y_1+y_2}2-\frac{x_1-x_2}{2c} \right)^2=\left( \frac{y_2-y_1}2-\frac{x_1+x_2}{2c} \right)^2,\]
利用结论：圆 `(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2` 与圆 `(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2` 相切的充要条件是
\[\bigl((a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2-r_1^2-r_2^2\bigr)^2=4r_1^2r_2^2,\]
将以上数据代入上式展开后可知的确成立（过程略（其实就是交给MMC，上面那方程也是靠MMC算出来的）），即得证。

huing

回复 8# kuing
连接一维射影变换的原和像的半圆弧包络一个圆。

kuing

回复 9# huing

thanks，原来已经有过这么多讨论了，有空再慢慢看看

isee

回复 6# kuing


圆能中秋节硬扯点关系，也算是中秋节贺题

其妙

回复 9# huing
kuing的兄弟来了

huing

回复 10# kuing
为了便于您阅读那的帖子，进行了一定的编辑，从6页删减为了3页，并加了几个图，改正了一些错误。