赖皮方法解一向量题

realnumber

其实是“极端原理”~~ －－－－这个可能错了，百度或等kuing的解释～～～
问题：如图，在平面上有一个四边形ABCD，已知BC=BD,且AC=3,AD=2,那么$\vv{AB}·\vv{CD}$_______ .答案-2.5．

赖皮方法这样，猜测填空题是个定值，那么降低B的位置，直接为CD中点，CD＝5,那么此时AB=0.5,且两向量方向相反．

realnumber

正常解法，设$\vv{AB}=\vv{b},\vv{AC}=\vv{c},\vv{AD}=\vv{d}$,
那么由$\abs{\vv{b}-\vv{c}}=\abs{\vv{b}-\vv{d}}$,两边平方，即可得
$\vv{AB}·\vv{CD}=\vv{b}·(\vv{d}-\vv{c})=-2.5$．

kuing

极端原理好像不是这种意思…………

realnumber

那我修改下，kuing科普下

realnumber

百度了下，觉得马马乎乎也算是
直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法称为极端性原则。
wenku.baidu.com/link?url=6EU2z-wdw6FUFyN5wrQV … PAeNDsJ8FMPmj92MSx4i

其妙

回复 4# realnumber
那叫代数题里的“特殊值法”（狭义的），演化成几何题的“特殊位置法”或称“特殊图形法”，统称为“特殊值法（广义的）”，，
      这其实可算一种合情的推理（从特殊到一般吧），其合理根据为：当这道题为选择题时，常常是唯一答案，也就是说，不管是什么样的图形，都是那唯一的答案，那么特殊的图形也应该是那一个答案。
当这道题为填空题时，也经常是唯一答案，偶尔会有两到三个答案，那么运气就没选择题好啦！只不过这个概率比较小，几乎可以忽略不计，所以考生乐此不疲，
      换成我的话，专门考填空题，且有两个答案的（甚至变态一点，来三个、四个答案的），让那些用“特殊位置法”或称“特殊图形法”的（只想到那种特殊图形的那个唯一答案）统统出错，，
      不过从另外一方面看，合情推理也是演绎推理所不能代替的，也需要这种合情推理能力。

其妙

再来一种解法：
\begin{align*}\vv{AB}\cdot\vv{CD}&=\vv{AB}\cdot(\vv{AD}-\vv{AC})\\
\\
&=\vv{AB}\cdot\vv{AD}-\vv{AB}\cdot\vv{AC}\\
\\
&=\dfrac{AB^2+AD^2-BD^2}2-\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}2\\
\\
&=\dfrac{AD^2-AC^2}2{\kern 10pt}(\because BD=BC)\\
\\
&=\dfrac{2^2-3^2}2\\
\\
&=-\dfrac52\\
\\
\end{align*}

realnumber

回复 7# 其妙


    不会是根据2楼平方凑的吧？
又kuing要不开个系列贴，%%原理，%%基本定理什么？范围就高中数学物理及竞赛．

isee

回复 8# realnumber

其妙那种做法，从几何角度来说，很常见，且具一般性，我想其妙绝不是凑的。




这题如果要结果，且“正统”，直接以CD中点为原点，CD所在直线为x轴，建直角坐标即解。

第一章

取$CD$中点$O$，则
$\vv {AB}$·$\vv {CD}=(\vv {OB}-\vv {OA})$·$\vv {CD}=\vv {AO}$·$\vv {CD}=\frac{1}{2}(\vv {AD}+\vv {AC})$·$(\vv {AD}-\vv {AC})=-\frac{5}{2}$

其妙

回复 9# isee
谢谢isee支持，要不然的话，我可以找一下人教向量题若干的链接

isee

取$CD$中点$O$，则
$\vv {AB}$·$\vv {CD}=(\vv {OB}-\vv {OA})$·$\vv {CD}=\vv {AO}$·$\vv {CD}=\frac{1 ...
第一章 发表于 2014-5-19 21:18

嗯，这个几何也赞

其妙

回复 10# 第一章
是不是凑的呀？乱说的哈，莫介意。
下面这道题至少有两种解法，解法之一就是类似我在7楼里的方法，解法之二就是类似第一章老师的取中点方法。
如图，在圆 $O$ 中，若弦 $A B=3$，弦 $A C=5$，则 $\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的值是
（A）-8
（B）-1
（C） 1
（D） 8

结论： $\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A O} \cdot(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{A C^2-A B^2}{2}$

第一章

这(9)题……我一直用射影做的。
原来只需要简单的向量加减……
感谢其妙老师

钓鱼岛

这个题我想了很久没想出来，在此谢谢各位高手了！

goft

这两个题可以总结，本质都是向量的正交分解，第一题：射影，第二题:类似等高线

wenshengli

回复 10# 第一章

我喜欢这个！

第一章

才想起，这题应该不是最近的新题
已知 $A, B, O, P$ 是平面内互不相同的四个点，$P$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上；设向量 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O P}=\vec{p}$，如果 $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=2$，那么 $\vec{p} \cdot(\vec{a}-\vec{b})=$

这是2009年我们校的一个竞赛题，肯定也是哪里抄来的

kuing

回复 18# 第一章

N年前我好像也做过这道…

其妙

回复 18# 第一章
老早的题了！也是用中线向量公式的，