（z）完全平方数问题

realnumber

【LV5】江苏苏州蔡－－

第一问用数学归纳法，第二问我不想用通项公式，通项公式当然好求
主要是征求第二问的简单解法

realnumber

浙江嘉兴张小明:

其妙

东南有类似题吧。
设完全平方数$5a_na_{n+1}+1=m^2$（$m\in N^*$），因为$(a_{n+1}+a_n)^2=5a_na_{n+1}-500=m^2-501$，

记$b_n=a_n+a_{n+1}>0$，则$m^2-b_n^2=501$，

即：$(m+b_n)(m-b_n)=501=167\times3=501\times1$，

故\begin{cases} m+b_n=167，501\\
m-b_n=3，1\end{cases}
解得：\begin{cases} m=85，251\\
b_n=82，250  \end{cases}
第一个方程组无整数解$n$，第二个方程组得到$b_n=a_n+a_{n+1}=250=a_3+a_4$，解得$n=3$，经检验符合.