求通项

guanmo1

如图

realnumber

题目哪里来的啊．没见过，不会｀｀｀

kuing

两边除以 (n+1)! 再求和，别指望化简了。

战巡

回复 1# guanmo1


早就研究过了........
如果数列$a_{n+1}=pna_n+q, a_1=r$，有：
\[a_n=[r+\frac{q}{p}(e^{\frac{1}{p}}-1)]p^{n-1}(n-1)!-\frac{q}{p}e^{\frac{1}{p}}\int_0^1x^{n-1}e^{-\frac{x}{p}}dx\]

其妙

回复  guanmo1


早就研究过了........
如果数列$a_{n+1}=pna_n+q, a_1=r$，有：
\[a_n=[r+\frac{q}{p}(e ...
战巡 发表于 2014-5-28 14:19

牛笔！还和积分有关！

guanmo1

回复 3# kuing


    是的，不可能化简，看了战巡的解答才知道这玩意确实不能用初等办法算出“通项”来。

hbghlyj

战巡 发表于 2014-5-28 07:19
如果数列$a_{n+1}=pna_n+q, a_1=r$，有：
\[a_n=[r+\frac{q}{p}(e^{\frac{1}{p}}-1)]p^{n-1}(n-1)!-\frac{q}{p}e^{\frac{1}{p}}\int_0^1x^{n-1}e^{-\frac{x}{p}}dx\]

牛笔！
怎样证明啊

hbghlyj

我们代入$n=1$验证一下吧
\begin{align*}
a_1&=r+\frac{q}{p}(e^{\frac{1}{p}}-1)-\frac{q}{p}e^{\frac{1}{p}}\int_0^1e^{-\frac{x}{p}}dx\\
&=r+\frac{q}{p}(e^{\frac{1}{p}}-1)-\frac{q}{p}e^{\frac{1}{p}}p(1-e^{-\frac1p})\\
&=r+\frac{q}{p}(e^{\frac{1}{p}}-1)-q(e^{\frac1p}-1)\\
\end{align*}
怎么不是$r$呢

hbghlyj

若改成
$a_n=[r+q(e^{\frac{1}{p}}-1)]p^{n-1}(n-1)!-\frac{q}{p}e^{\frac{1}{p}}\int_0^1x^{n-1}e^{-\frac{x}{p}}dx$
就能满足$a_1=r$.
验证$a_{n+1}=pna_n+q$:
\begin{align*}
pna_n+q&=r+q(e^{\frac1p}-1)p^nn!-qe^{\frac1p}\int_0^1nx^{n-1}e^{-\frac xp}dx+q\\
&=r+q(e^{\frac1p}-1)p^nn!-qe^{\frac1p}\left(e^{-\frac1p}+\frac1p\int_0^1x^ne^{-\frac xp}dx\right)+q\\
&=r+q(e^{\frac1p}-1)p^nn!-\frac qpe^{\frac1p}\int_0^1x^ne^{-\frac xp}dx\\
\end{align*}
确实是对的喔

$\int_0^1x^{n-1}e^{-\frac{x}{p}}dx=p^n\left(\Gamma(n) - \Gamma(n, \frac1p)\right)$

incomplete gamma function