一道解析几何题

转化与化归

本题的平面几何证法是什么？

删广告专用

拉伸成圆，然后证OCM与OND相似，再用比例即可。

删广告专用

转化与化归

回复 3# 删广告专用
可以直接在椭圆中证，绕过仿射吗？

isee

回复 4# 转化与化归


    很厉害，2楼是kuing的MJ吧，偶只发现等腰梯形，未注意那个45度弧。其次，仿射是必然的，是不是必须的，就不知道了，不过，仿射变换后（，其实也不是很好证），将仿射不变性体现得淋漓尽致，此题。

isee

不像，kuing 好像没从来没手写过吧

isee

回复 4# 转化与化归


    在软件下，椭圆的上顶点，右顶点，及点P是共线，不仿射的话，估计这也许是一个方向

转化与化归

回复 7# isee
点P的轨迹可以求的。

kuing

回复 6# isee

是我，昨晚一直没在电脑前，在测试我哥的爪机，然后就试着在论坛发图片，结果直接添加附件好像不行，最后就先发微博再转过来，所以上面的图片右下角带了我微博的地址。

其妙

终于见到kk的手迹了！人教群好像有谁喜欢收集手迹？

kuing

回复 10# 其妙

你是说大羊？……

其妙

回复 11# kuing
好像是吧？

其妙

这里写的没认真看：blog.sina.com.cn/s/blog_c50749e40101i6kq.html，(发表于2014-05-30 16:04:50)

转化与化归

回复 13# 其妙
仿射的平面证明我已经发给'等待hxh'了

isee

回复 13# 其妙


    事实上，借鉴这个图，两条平行线直线，与这两条平行线有公端点，过椭圆中心的两直线，有两个新端点，及平行线与椭圆的另两个端点相交交点与椭圆中心连线，都是平行。其实我感觉这个无穷点，实在太诡异了，如果能把三线共线，也许是，帕斯卡定理的特殊情况（最后与这也无关），图形找出来，这个题是真的才是差不多了。

    晕，依然有等线段存在，N上BL中点，当然，现在，这只是在软件下……

isee

到底哪四点是调和点列？？？

A(CN,LB)??? 嗯，是的，记无穷远点为$P_\infty$，那怎么证A(CN,LB)是调和线束呢？

$OP\sslash AC \sslash  BD\iff \dfrac {OP}{BN}=\dfrac {MO}{MB}=\dfrac {AO}{AN}=\dfrac {OP}{NL}\iff BN=NL \iff A(CN,LB)=-1\iff (MO,EB)=-1$

然后呢？


不管了，睡觉，先。

isee

回复 16# isee

共线 共点 全是等价的  搞不定啊



仿射变换吧  同样相似形 同样比例代换  收工

isee

抽离出来的几何题


如图，平行四边形$ABCD$，$G$，$H$分别在其对角线所在的直线上，两对角线交于$E$，$F$为$BC$直线上任一点。
若$AG\sslash EF \sslash DH$，求证：G，F，H三点共线。

isee

这里接主楼，把主楼命题写成一般情况即：

题目：设$AA_1,BB_1$为椭圆直径(即均过椭圆中心$O$的直线)，$AC\sslash BD$，分别交椭圆于点$C,D$，分别交两直径于点$M,N$。
（直线$AC$与弦$A_1B_1$相交，如图所示。）
求证：直线$MN,CD,A_1B_1$三线共点于$P$，且$OP\sslash AC$。


直接椭圆下的（高等）几何证明分两步走，略写如下。

第一步，先出平行。

梯形$AMNB$两腰相交于点$E$，则由$AC$交$BN$于无穷远点$(\iff AC\sslash BN)$，及完全四边形对角线调和性质，得

$M,N$调和分割$EP'$，且$AB \sslash B_1A_1$，知，点$P'$即为$A_1B_1$与$MN$的交点$P$，$OP \sslash AC$。




第二步，证$CD$过点$P$。

梯形$ABDC$两腰交于$F$，且内接于椭圆，则$OF$为椭圆直径，同上用完全四边形对角线调和性质，有大量中点，得
\[CA_1 \sslash OF \sslash B_1D\]
即$OF$与$OP$为共轭直径，进一步，在椭圆内接梯形$CA_1DB_1$可得，$CD$过$P$，证毕。

isee

这题用来体会无穷远点的魅力，真是无限好啊。




其实很麻烦，平行还是仿射变换得相似表直接。

不过，圆里要证$CD$过$P$应该和上面后半部分是一样的吧。