7名师生排成一排照相，下列条件下有多少种排法？

踏歌而来

7名师生排成一排照相，其中教师1人，男生4人，女生2人，老师不站在中间，女生不站在两端，怕被狼叼走了，有多少种不同的排法？

这道题今天从华东师范大学出版社出版的2012百题大过关中看到的，我首先想到的是用排除法。

7的全排列，减去老师站中间，再减去女生站两端，再加上老师站中间且女生站两端。
按照这个思路，写出了A(7,7)-A(6,6)-A(5,5)A(2,2)+A(4,4)A(2,2)=5040-720-120*2+24*2=4128。
看答案却是 2112。
再检查还是看不出排除法有什么问题。

我就用常规方法解答：
解一： 先排中间，再排两端，最后全排
第一部分：中间是 女生， 则有  A(2,1)*A(5,2)*A(4,4)
第二部分：中间是 男生， 则有  A(4,1)*A(4,2)*A(4,4)
两者相加为 2112。

解二：先排两端，再排中间，最后全排
第一部分：两端含老师  ，则有 A(4,1)*A(2,2)*A(5,5)
第二部分：两端不含老师，则有 A(4,2)*A(4,1)*A(4,4)
两者相加也为 2112 。

因此可知，我用排除法算出来的答案不对。

如何用排除法算这题的排法呢？
请大师们看看。

isee

用$A_7^7$来减，这个要对容斥很熟悉，至少，少了 只有一个女生在两端 这种情况。

isee

一定要用7人全排来减，则，记$G_i(i=1,2)$分别表女生在两端（集合），$T$表教师在中间，则

\[\abs {\overline {G_1}\cap \overline {G_2} \cap \overline T}=A_7^7-A_2^1A_6^6-A_2^1A_6^6-A_6^6+A_2^2A_5^5+A_2^1A_5^5+A_2^1A_5^5-A_2^2A_4^4=\]


\[5040-1440-1440-720+240+240+240-48=2112\]


PS:怎么让\bar 大一些？

kuing

PS:怎么让\bar 大一些？
isee 发表于 2014-5-30 19:23

用 \overline

isee

回复 4# kuing


    刚在winedit 里看到(十几个分类，真多）~~~~~看来这个\bar主要用来单小写字母的，如平均值的表达，哈哈

踏歌而来

回复 2# isee

说得好！

我确实少考虑了一种情况，现在调整为：
全排列$A_7^7$
减去 老师在中间$A_6^6$
减去 女生在两端$A_2^2A_5^5$
减去 有一个女生在一端为$C_2^1C_5^1A_2^2A_5^5$
再加上 老师在中间、有一个女生在一端 或 两个女生在两端的情况 $C_2^1C_4^1A_2^2A_4^4+A_2^2A_4^4$

$A_7^7-A_6^6-A_2^2A_5^5$-$C_2^1C_5^1A_2^2A_5^5+C_2^1C_4^1A_2^2A_4^4$$+A_2^2A_4^4=2112$

踏歌而来

下面的排除法是否也对呢？

zhidao.baidu.com/link?url=fgXwrwlKsS-oXNAH1nj … V9M4reXLvEUbgoccTlse

走走看看

楼主的题目，今天我没有做出来，以前做出来了。

什么原因呢？
原来题目中的“不站中间”，发生了歧义。今天我的理解是必须占两端。
哪里知道题目的答案是把这里的“中间”理解为“正中”的意思呢？

这样的题目要是在考试中遇到就是灾难。