求一道几何证明题的背景及多种证法

郝酒

题图

如图四边形ABCD，AC是角BAD的角平分线，E是CD上任一点，BE与AC交于F，DF交BC与F；
证明：角GAC=角EAC

一种证法是过C分别作AB，AD的平行线交AG，AE延长线与IJ，通过塞瓦定理，角平分线定理，同旁内角互补证三角形全等得到的。

感觉这题的背景很明显（虽然我不知道），想问一下此题的背景和其他的证法.

其妙

回复 1# 郝酒
1999MO？
筝形背景，

isee

楼上已经指出 此题为1999年全国高中数学联赛平几试题。



以下与此题是什么背景无关，个人尝试解下，只是有个强烈轴对称想法，看到此题。

网上搜索到对称证法，源自 j20120307——

题目（1999年全国高中数学联赛）：如图四边形$ABCD$，$AC$是$\angle BAD$的角平分线，$E$是$CD$上任一点，$BE$与$AC$交于$F$，$DF$交$BC$与$G$.
求证：$\angle GAC=\angle EAC$

设$AC$与$BD$交于$H$，对$\triangle BCD$和点$F$用CEVA定理，有：
\[\frac {CG}{GB}\cdot \frac {BH}{HD}\cdot \frac {DE}{EC}=1\]

在$\triangle ABD$中，有角平分线定理，有：
\[\frac {BH}{HD}=\frac {AB}{AD}\Rightarrow \frac {CG}{GB}\cdot \frac {BA}{AD}\cdot \frac {DE}{EC}=1\tag{1} \label{eq01}\]
沿直线$AC$将$\triangle ADC$折叠，
设$D\rightarrow D',E\rightarrow E'$，则$D'$在直线$AB$上，$G'$在直线$CD'$上，于是：
\[\frac {CG}{GB}\cdot \frac {BA}{AD'}\cdot \frac{D'E'}{E'C}=\frac {CG}{GB}\cdot \frac {BA}{AD}\cdot \frac{DE}{EC}=1\]

由MENELAUS逆定理，$E',G,A$三点共线，故$\angle GAC=\angle E'AE=\angle EAC$.

isee

图形旋转180度倒是顺眼些。






若A落在DB上，则变成经典的高线角等，难怪有主楼辅助线的。

isee

凹四边形，轴对称的话，方法完全相同，不过，角如图标，更好看些。

isee

在$\triangle BCD$ 中，由Ceva定理（第二）角元形式，如图标记角度：

\begin{align*}
  \dfrac {\sin (\theta-x)}{\sin x}\cdot \dfrac {\sin y}{\sin (\theta-y)} \cdot \dfrac {\sin \theta}{\sin \theta}&=1\\[1em]
  \Rightarrow \dfrac {\cos(\theta-x+y)-\cos (\theta -x-y)}{\cos(\theta-y+x)-\cos (\theta -y-x)}&=1\\[1em]
  \Rightarrow x&=y
\end{align*}

其实就是把3楼\eqref{eq01}式全部化成关于目标角，然后积化和差，考虑角的范围，即可得结论。

其妙

isee是几何代数、初中高中、高考与奥赛全能呀！全能型的选手呀！

isee

回复 7# 其妙


    中高考勉强，奥赛，算了吧，此题只是整理学习了下，并非个人原创，珠玉在前……

其妙

还可以解析法！

郝酒

谢谢两位.
另外mathjax 支持数学式子的链接了？

kuing

谢谢两位.
另外mathjax 支持数学式子的链接了？
郝酒 发表于 2014-6-4 20:12

一直都支持啊，至少在旧版论坛就支持，置顶贴一开始就演示了公式编号和引用

isee

回复 10# 郝酒


    要不是支持，一定懒得回帖了，多累人啊，否则
    一直就支持，我印象里，偶尔有时候无法加载MathJax.js