2014年广东卷理科第20题——椭圆两垂直切线垂足轨迹蒙日圆

青青子衿

记录一下贴吧里给出证明的楼层
19楼
2021-04-25 13:31
76楼
2021-04-28 19:53
圆锥曲线对定点张直角弦的包络问题研究
wenku.baidu.com/view/f634663cc77da26924c5b073.html

色k

回复 21# 青青子衿

这随时有可能会变吧？甚至万一404哦。
觉得好的应该存档

isee

回复 21# 青青子衿

回复 20# hbghlyj

一个是射影几何，一个是包络，都是“硬菜”

limbo

回复 1# isee


    最后一步可以斯特瓦尔特定理

isee

源自知乎提问



用椭圆的参数方程，还是建立斜率关系，与判别式为零本质上一样.

题：过椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 外一点作两条互相垂直的切线，则这一点的轨迹是蒙日圆 $x^2+y^2=a^2+b^2.$

字母标记采用顶楼图中字母，仅讨论切线斜率存在的情形.

$P(x_0,y_0),$ 切点 $A(a\cos\theta,b\sin\theta),$ 则 $PA$ 直线方程为 $y-b\sin\theta=k(x-a\cos\theta),$ 代入点 $P$ 坐标，整理为 $\sin(\theta+\varphi)=\frac{y_0-kx_0}{\sqrt {b^2+k^2a^2}}.\qquad (*)$

当 $\left|\frac{y_0-kx_0}{\sqrt {b^2+k^2a^2}}\right|>1$ 时， $(*)$ 关于 $\theta$ 的三角方程无解，$PA$ 直线方程与椭圆没有交点，即 $PA$ 与椭圆相离；

当 $\left|\frac{y_0-kx_0}{\sqrt {b^2+k^2a^2}}\right|=1$ 时， $(*)$ 关于 $\theta$ 的三角方程一解，$PA$ 直线方程与椭圆有且仅有一个交点，即 $PA$ 与椭圆相切；

当 $\left|\frac{y_0-kx_0}{\sqrt {b^2+k^2a^2}}\right|<1$ 时， $(*)$ 关于 $\theta$ 的三角方程两解，$PA$ 直线方程与椭圆有两个交点，即 $PA$ 与椭圆相交.

依题， $PA$ 与椭圆相切，从而 $\color{blue}{\left|\frac{y_0-kx_0}{\sqrt {b^2+k^2a^2}}\right|=1},$ ——这就是题主想要的解答——平方整理即

$(x_0^2-a^2)k^2-2x_0y_0k+y_0^2-b^2=0,$

而过点 $P$ 两切线的斜率满足此方程，

则 $-1=\frac {y^2-b^2}{x_0^2-a^2},$ 即 $x_0^2+y_0^2=a^2+b^2.\quad\square$

hbghlyj

青青子衿 发表于 2021-4-29 15:03
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