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$\left\{\begin{matrix}(1+x)(1+{{x}^{2}})(1+{{x}^{4}})=1+{{y}^{7}}\\(1+y)(1+{{y}^{2}})(1+{{y}^{4}})=1+{{x}^{7}}\\\end{matrix}\right.$
By 其妙 原帖
令$f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)$，可以证明$f(x)$是$R$上单调递增函数（证明略，由图像可得），
由于两个方程$f(x)=1+y^7$，$f(y)=1+x^7$均互为反函数(或说隐函数里的反函数)，由相关结论知，必定$x=y$。
如若不然，假设$x>y$，则$f(x)>f(y)$，即$1+y^7>1+x^7$，$y>x$，矛盾于假设，
同理，假设$x<y$，也会得到矛盾。故$x=y$ .
于是方程组变为：$f(x)=1+x^7$，显然$x=1$不是解，且$f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=\frac{1−x^8}{1−x}$，
故$\frac{1−x^8}{1−x}=$1+x^7$，即：$ x^7−x=0$，解得$x=0$或$x=−1$，（舍去$x=1$）
所以，原方程组的解为$x=y=0$或$x=y=−1$ |
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