电阻串并联问题

abababa

有足够的1欧姆电阻，通过串并联得到41/13欧姆，问最少需要多少个1欧姆电阻
感觉和连分式有关，$\frac{41}{13}=3+\frac{1}{6+\frac{1}{2}}$，这样先2个串联得$2$欧姆作为A组，倒数$\frac{1}{2}$，A组再和$6$个并联得$\frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}}$作为B组
B组再和3个串联就得结果了，可是我不能证明这是最少的，要怎么证明呢？

其妙

回复 1# abababa
这是物理问题呀？

abababa

回复 2# 其妙
只是借了物理的形式，实际还是数学问题，设有n个电阻，它们串联起来的等效电阻的公式是$R=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}R_i$，并联起来的公式是$\frac{1}{R}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_i}$，就是用到这两个物理公式，主要还是那种方式用到的电阻数是不是最少的，如果是怎么证明它，这是我现在做不到的

realnumber

回复 1# abababa

１楼这里看不明白
    A组再和6个并联得...,应该是1/8,－－

kuing

回复 4# realnumber

正确的应该是 2 个串再与 6 个并才是……

abababa

确实当时弄错了，已经改过来了。
这种方法也不能保证对所有数都是最小的，比如现在要弄$\frac{6}{5}$的电阻，按一楼连分式的方法就是$\frac{6}{5}=1+\frac{1}{5}$，这样是5个先并联再和1个串联，共须6个电阻
但是也可以3个串联作A组，2个串联作B组，AB两组再并联，就是$\frac{1}{R}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$，$R=\frac{6}{5}$，这样只要5个电阻

其妙

回复 6# abababa
楼主的问题真有意思，

realnumber

回复 7# 其妙


    确实很有意思，要不先积累些容易处理的值．以下字母都为正整数,$(m,n)=1$．
当总电阻为n时，那么就n个串联，所需最少．
当总电阻为$\frac{1}{n}$时，就n个并联，所需最少．
当总电阻为$\frac{2}{n},(2,n)=1,n>2$时，按１楼的做法，猜测，2个串和$\frac{n-1}{2}$的并，所需最少．

abababa

回复 8# realnumber

虽然看起来总电阻是n时，n个串联所用电阻最少，但是还是要有具体的证明才觉得正确，因为4欧姆可以4个串联，也可以2个并联作A，2个并联作B，再并联，虽然数量都是4个电阻，但是形式上就不是唯一的表达了，不证明的话也不能明确一定是n个串联才是最少数量

其妙

2001年的MO就是考得以电阻问题为载体的数学题

realnumber

回复 9# abababa
以下应该说是物理方法，数学方法觉得困难，证明的基础(就是原理)不明确．
n个电阻任意两个(或以上)并联，并联部分电阻会小于2，总电阻会小于n，n是最大值，这样只能都串联.

n个并联类似，总电阻$\frac{1}{n}$最小．

abababa

回复 11# realnumber

单说n个串联，不知道是不是用调和平均不等式证明，但是这个方法只考虑了只有一次并联的情况，完全可以并联后再并联，这样本来小的数取了倒数就变大了，而且可以不断的并联下去，就像我给出的例子那样

realnumber

特殊的举几个，n个１欧姆电阻，能串并出几种数值．（数据重复就略过不写，串并说明复杂的都放最后一个分号后．这样如果没遗漏的话，首次出现的数值，也即说明了所需最小电阻个数．）
1个:1．

$2个:2;\frac{1}{2}$．

$3个:3,\frac{3}{2};\frac{1}{3},\frac{2}{3}$．

$4个:4,\frac{5}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{3};\frac{3}{4},\frac{3}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{5}$．

$5个:5,\frac{7}{2}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{4}, \frac{8}{5},\frac{5}{4}, \frac{7}{5};\frac{4}{5},\frac{5}{7},\frac{4}{7},\frac{5}{8}, \frac{3}{7}, \frac{3}{8},\frac{1}{5},\frac{2}{7}; \frac{6}{5}, \frac{6}{7}, \frac{5}{6}, \frac{7}{6}$(1,4两行或2,3两行数据串并的)．

$6个:6,\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{3},\frac{11}{4},\frac{13}{5},\frac{9}{4},\frac{12}{5},\frac{9}{5},\frac{12}{7},\frac{11}{7},\frac{13}{8},\frac{10}{7},\frac{11}{8},\frac{6}{5},\frac{9}{7},\frac{11}{5},\frac{13}{7},\frac{11}{6},\frac{13}{6};\frac{7}{9}, \frac{7}{10}, \frac{8}{11}, \frac{7}{11}, \frac{8}{13},\frac{5}{9}, \frac{7}{12},\frac{4}{9},\frac{5}{12},\frac{4}{11},\frac{5}{13}, \frac{3}{10}, \frac{3}{11},\frac{1}{6},\frac{2}{9},\frac{6}{11}, \frac{6}{13}, \frac{5}{11}, \frac{7}{13};\frac{10}{9}, \frac{10}{11}, \frac{11}{10}, \frac{9}{10}．$
(1,5两行或2,4两行数据串并，3,3行没有出现新的数据)
再举完n=7,8,9,10就可以证明或否定１楼了．要不再程序? smallbasic的数组，输入，读出文件等等语句我还没懂，不好编．

abababa

回复 13# realnumber
实际上用5个可以做出$\frac{6}{5}$，就已经否定了这种连分式方法能求出最少电阻数了。
只是按13楼这种方法，越往后都要用到整数分拆，然后每种分拆再用乘法原理来算有几种，最后挑出所求的数是否在这些数中，这个数量太大了，对付我的问题也许容易求，对付一般的$\frac{m}{n}$就不容易了

战巡

这个问题其实挺复杂的，要知道，电阻的接法可不止串联并联两种，还有很多种电桥式的接法，可以弄出更奇怪数值的电阻

abababa

回复 15# 战巡
桥接确实有不同的值，这里只是借了物理的形式。题目原来的描述是求只用串并联的方式来组合，只是这两种方式我觉得就很复杂了。
现在13楼用反向的方式，虽然提供了一种形式化的方法来找到某一个给定的值是怎么组合的，但还是没找到公式化的方法来找最少电阻数。而且就算找出公式化的方法来确定最少电阻数，用这些电阻来构造出这个值也许也不容易

abababa

一位网友编了一个程序，是用Mathematica做的，他说可以计算出组成$\frac{41}{13}$的最少电阻是多少个，可惜他说他没有Mathematica就没算结果是多少（那他是怎么编的程序？？？），会Mathematica的朋友能帮助算一下吗？能不能看出是怎么组合成$\frac{41}{13}$的？

1. value = Table[0, {i, 1, 2}];
2. value[[1]] = {1};
3. value[[2]] = {2, 1/2};
4. m = 41/13;
5. For[i = 3, i <= 11, i++,
6.         pairs = Complement[IntegerPartitions[i, 2], {{i}}];
7.         v = {};
8.         For[j = 1, j <= Length[pairs], j++,
9.                 pair = pairs[[j]];
10.                 set1 = value[[pair[[1]]]];
11.                 set2 = value[[pair[[2]]]];
12.                 For[k1 = 1, k1 <= Length[set1], k1++,
13.                         For[k2 = 1, k2 <= Length[set2], k2++,
14.                                 AppendTo[v, set1[[k1]] + set2[[k2]]];
15.                                 AppendTo[v, 1/(1/set1[[k1]] + 1/set2[[k2]])];
16.                         ]
17.                 ]
18.         ]
19.         AppendTo[value, Union[v, {i}]];
20.         If[Position[value[[i]], m] != {}, Print[i]; Break[], ];
21. ];

复制代码

kuing

回复 17# abababa

贴代码最好放在 [code][/code] 里面，不然 [ i ] 在论坛上会变成斜体。

abababa

回复 18# kuing
谢谢，我第一次放上来时还是好的，后来编辑了一次，不知怎么就变得不一样了，现在应该改好了。

abababa

回复 17# abababa

下载Mathematica后把他的代码复制了运行，结果是10，可是我完全不懂这些代码的意思，这个结果对吗？能看出来$m=41/13;$是要求的电阻值，它前面两行应该是只用1个和只用两个1欧姆电阻能组成的电阻值吧，就能猜到这些。