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教师-tan9p(3653*****) 18:00:07
四棱锥的四个侧面和底面这五个面中，两两互相垂直的平面最多有____对？
答案是5对，可这个最多怎么论证？
当时我说：
群管-kuing/shq/fad 18:05:30
侧面最多两个和底面垂直吧
群管-kuing/shq/fad 18:06:36
然后侧面最多三对垂直
但是当时并没给出证明，主要是说起来有点麻烦，就懒得说了，现在补回来吧，反正闲，又可以增加贴子了
首先举一个五对垂直的例子：随便作一矩形 $ABCD$，过 $A$ 作 $AP\perp\text{平面}~ABCD$，那么在四棱锥 $P\text-ABCD$ 的四个侧面和底面中，有两个侧面与底面垂直，而侧面中又有三对垂直，共五对垂直。
下面证明：最多两个侧面和底面垂直；侧面中最多有三对垂直。
为方便叙述，以下记四棱锥底面所在平面为 $\beta$，顺次记四个侧面所在平面为 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$，再记 $\alpha_i\cap \alpha_j=L_{ij}$ 为 $\alpha_i$ 与 $\alpha_j$ 的交线，其中 $\{i,j\}\subsetneqq \{1,2,3,4\}$，由于侧面都过四棱锥的顶点，所以 $L_{ij}$ 都存在。
假设有三个侧面与底面垂直，由于总共只有四个侧面，那么这三个侧面必然相邻，不妨设其为 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$，则由 $\alpha_1\perp \beta$, $\alpha_2\perp \beta$ 可得 $L_{12}\perp \beta$，同理 $L_{23}\perp \beta$，故 $L_{12}\sslash L_{23}$，矛盾，所以最多两个侧面和底面垂直。
假设侧面中有四对垂直而另外两对不垂直，以下设 $\{m,n,p,q\}=\{1,2,3,4\}$，分两类讨论：
（1）若两对不垂直的面中没有公共的面，比如说 $\alpha_m\not\perp \alpha_n$ 且 $\alpha_p\not\perp \alpha_q$，那么四对垂直的就是 $\alpha_m\perp \alpha_p$, $\alpha_p\perp \alpha_n$, $\alpha_n\perp \alpha_q$, $\alpha_q\perp \alpha_m$。
由 $\alpha_m\perp \alpha_p$, $\alpha_p\perp \alpha_n$ 得 $L_{mn}\perp \alpha_p$，由 $\alpha_n\perp \alpha_q$, $\alpha_q\perp \alpha_m$ 得 $L_{mn}\perp \alpha_q$，所以 $\alpha_p\sslash \alpha_q$，矛盾。
（2）若两对不垂直的面中有一个公共的面，比如说 $\alpha_m\not\perp \alpha_n$ 且 $\alpha_m\not\perp \alpha_p$，那么四对垂直的就是 $\alpha_q\perp \alpha_m$, $\alpha_q\perp \alpha_n$, $\alpha_q\perp \alpha_p$, $\alpha_n\perp \alpha_p$。
由 $\alpha_q\perp \alpha_m$, $\alpha_q\perp \alpha_n$ 得 $L_{mn}\perp \alpha_q$，同理可得 $L_{mp}\perp \alpha_q$, $L_{np}\perp \alpha_q$，所以 $L_{mn}\sslash L_{mp}\sslash L_{np}$，又由于 $L_{ij}$ 都通过四棱锥的顶点，所以 $L_{mn}$, $L_{mp}$, $L_{np}$ 都重合，也就是 $\alpha_m$, $\alpha_n$, $\alpha_p$ 都过同一直线，显然矛盾。
综合（1）（2）知侧面中有四对垂直而另外两对不垂直是不可能的，而五对以上就更加不可能，所以侧面中最多有三对垂直。 |
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