【问】数列不等式一题

keypress

已知$a_1>0,\;a_2>0 $， $a_{n+2}=\frac2{a_n+a_{n+1}} $，设 $\;u_n=\max{\left\{a_n,\;\frac1{a_n},\;a_{n+1},\;\frac1{a_{n+1}}\right\}} $，
求证： $u_{n+3}\leqslant\frac34 u_n+\frac14\;. $

不等式我不擅长，发在群里没人鸟，所以发在这里塞。

kuing

好不容易翻到这个：aoshoo.com/bbs1/dispbbs.asp?BoardID=14&ID=14437 2008年南开第五题

keypress

谢谢kuing
参考：
aoshoo.com/bbs1/dispbbs.asp?boardid=14&Id … 7&authorid=25637

来源：2008南开第5题

解析：源自Real555
定理*：$A=M_n=max{a,1/a,b,1/b}$,若$M《a+1/a+b+1/b$或$M≤2a+1/a+b$或$M≤a+2b+0.5(1/a+1/b)$等诸如此类,则$M≤3A+1$（说明a,1/a至少有一个不大于1）
$M_(n+3)=max{2/(b+2/(a+b)),(b+2/(a+b))/2,2/(2/(a+b)+2/(b+2/(a+b))),(2/(a+b)+2/(b+2/(a+b)))/2}$，
证明过程中一直在用不等式$4/(x+y)≤1/x+1/y$,其中x、y∈R+.---①
接下来证明关于$M_(n+3)$中4个数都符合定理*.

$4×2/(b+2/(a+b))≤2（1/b+(a+b)/2）=1/b+1/b+a+b≤3A+1$

$4(b+2/(a+b))/2≤2b+1/a+1/b≤3A+1$

$4×2/(2/(a+b)+2/(b+2/(a+b)))≤4/(a+b)+4/(b+2/(a+b))≤1/a+1/b+1/b+(a+b)/2≤3A+1$

$4×(2/(a+b)+2/(b+2/(a+b)))/2≤1/a+1/b+1/b+(a+b)/2≤3A+1$
证明完了.

kuing

回复 3# keypress

其实我没看懂这个过程……

realnumber

其实我表达不好，这个也是以前写的，没心思改进，

引理2的证明见23楼

realnumber

引理2修改了下，这下觉得没问题了.
kk觉得没问题的话，我就不写证明了，2楼记忆帖子能力真心厉害，意味放弃了什么呢~~~，也不知道好坏

keypress

那个我看懂的，只是奥数网贴过来时，他用的是AsciiMath代码，不是TeX，所以没来得及改。
今天上午一直在上课，下午忙其他事了，好在RealNumber已贴出解答，就不改了。

kuing

回复 7# keypress

嗯，奥数之家论坛用的是 AsciiMath 代码，哎这个虽然方便，但也有一些问题，所以我这里还是用 TeX。

Tesla35

那个不是西西写的么。。。
see 3L
tieba.baidu.com/p/2172046315
哈。试题搜集多了哪都能撞车

kuing

hoho，谁抄谁？有谁能知道？……我先潜了……

realnumber

是以前我写的，引理2中的错误还没改正过来，正确见5楼的帖子。

realnumber

hoho，谁抄谁？有谁能知道？……我先潜了……
kuing 发表于 2013-9-24 22:58

555，他也没说是他证明的，好伐，应该是看到后记录的。

其妙

hoho，谁抄谁？有谁能知道？……我先潜了……
kuing 发表于 2013-9-24 22:58

西西的那个还有题目编号呢，编号第179题，好像西西也没说是自己做的。
原递推最早来自AMM,1976年，
高考试题最后一道，也有好几个考生能独立的做出最后一道压轴题。也就是英雄所见略同嘛

realnumber

就是啊，kk非得说抄什么的，还居然不相信我，好伤心，

kuing

回复 13# 其妙

略同也没有连符号、格式神马都一样的吧……

kuing

就是啊，kk非得说抄什么的，还居然不相信我，好伤心，
realnumber 发表于 2013-9-24 23:22

我那句是回Tesla35的
T35的意思是你抄他，然后我的意思是说谁抄谁并不好说，事实上是在帮你辩解

realnumber

想想，还是不说了，也就这么个题目，

realnumber

哦，不过即使误会也没什么，还是谢谢kuing,还以为你误会我了

Tesla35

回复 16# kuing


    反正我只负责lu入，不管谁抄谁

realnumber

还是关注下修改后的引理2，这下对了吗？
原版本的，见贴吧那个，其实不适用$M_{n+3}$中后两个代数式