一个整除问题

等待hxh

已知 $x,y \inN^+$，且 $x^2+y^2-x$ 能被 $2xy$ 整除，求证：$x$ 为完全平方数。

kuing

……这代码有多难写啊？
上标就是 ^
属于就是 \in
于是这样写就行了：
已知 \$x,y \in N^+\$，且 \$x^2+y^2-x\$ 能被 \$2xy\$ 整除，求证：\$x\$ 为完全平方数。

tommywong

$x^2+y^2-x \equiv 0 (mod 2xy)$

$x^2+y^2-x \equiv 0 (mod xy)$

$y^2 \equiv 0 (mod x)$

假设$x$不是平方数，则$y$必含因子$x$（←错），设$y=kx$

$x^2+k^2x^2-x \equiv 0 (mod kx^2)$

$-x \equiv 0 (mod x^2)$不成立，与假设矛盾

其妙

$x^2+y^2-x \equiv 0 (\mod{\kern4pt} 2xy)$

$x^2+y^2-x \equiv 0 (\mod{\kern4pt} xy)$

$y^2 \equiv 0 (\mod{\kern4pt} x)$

假设$x$不是平 ...
tommywong 发表于 2014-7-10 11:31

这样写效果怎样？

kuing

回复 4# 其妙

x^2+y^2-x \equiv 0 \pmod{2xy} gives $x^2+y^2-x \equiv 0 \pmod{2xy}$

tommywong

3楼错了，重新来过

$2xy|x^2+y^2-x$

$x=\prod_i p_i^{2k_i}\prod_j p_j^{2k_j+1},(p_i,p_j)=1$

需证$\forall j,p_j=1$，使得$x=\prod_i p_i^{2k_i}=(\prod_i p_i^{k_i})^2$为平方数

$x|y^2\Rightarrow p_j^{2k_j+1}|y^2\Rightarrow p_j^{k_j+1}|y$

$p_i^{2k_i}|y^2\Rightarrow p_i^{k_i}|y$

设$y=q\prod_i p_i^{k_i}\prod_j p_j^{k_j+1}$

$2y|x+q^2\prod_j p_j-1$

$\forall j,p_j|1\Rightarrow p_j=1$

realnumber

以下字母都是正整数
设(x,y)=m,那么x=ma,y=mb，（a,b）=1
问题即为$2m^2ab\mid m^2a^2+m^2b^2-ma$
即$2mab\mid ma^2+mb^2-a$，得出$a\mid m$,$m\mid a$
得到m=a
所以$x=a^2$,又x=1,y=2说明有解.