请教一个不等式题

suqianchenzhu

kuing

表面看着吓人，其实是很弱的不等式，首先变形为
\[\left( \frac13\sum\sqrt[3]{\frac1a+\frac2{bc}+a+2b+2c} \right)^3\leqslant\left( \frac2{abc} \right)^3,\]
由幂平均有
\[\left( \frac13\sum\sqrt[3]{\frac1a+\frac2{bc}+a+2b+2c} \right)^3\leqslant\frac13\sum\left( \frac1a+\frac2{bc}+a+2b+2c \right),\]
所以只要证
\[\frac13\sum\left( \frac1a+\frac2{bc}+a+2b+2c \right)\leqslant \left( \frac2{abc} \right)^3,\]
去分母等价于
\[3(abc)^2+2(abc)^2\sum a+5(abc)^3\sum a\leqslant 24,\]
由均值有
\begin{align*}
abc&\leqslant \left( \frac{ab+bc+ca}3 \right)^{3/2}=1, \\
abc\sum a&\leqslant \frac{(ab+bc+ca)^2}3=3,
\end{align*}
故显然得证。

其妙

回复 2# kuing
，这个不等式真有用：$x^2+y^2+z^2\geqslant3(xy+yz+zx)$

hbghlyj

其妙 发表于 2013-9-25 13:23
回复 2# kuing
[强]，这个不等式真有用：$x^2+y^2+z^2\geqslant3(xy+yz+zx)$

好像应该是用$(x+y+z)^2\geqslant3(xy+yz+zx)$?