请教2014高考四川理数第21题（函数导数）

chen、bin

chen、bin

有两个疑问想请教，就是上面红框蓝字的部分

chen、bin

我的这个问题为什么没人理会？

其妙

回复 3# chen、bin
我猜主要是答案太长了，看不下去

kuing

回复 4# 其妙

嗯，本来就看原题已经提不起兴趣，答案还那么长，果断闪走

其妙

回复
嗯，本来就看原题已经提不起兴趣，答案还那么长，果断闪走 ...
kuing 发表于 2014-7-25 12:46

闪走，

chen、bin

继续求教

踏歌而来

这（Ⅱ）是有点奇怪。
f(0)=0，f（1）=0
求(0,1)之间有零点的满足条件。

realnumber

1楼答案看不进去，<2看得短路.
这样解答，f(0)=f(1)=0,又f(x)=0在（0，1）有解.
那么g(x)=f'(x)在(0,1)至少有两个零点，
又$g'(x)=e^x-2a,g"(x)=e^x>0$,即g(x)为下凸函数.
$g(0.5)=e^{0.5}-e+1<e^{0.5}-2.7+1<0$,
所以要使“g(x)在(0,1)至少有两个零点”的充要条件是g(0)>0且g(1)>0
解得e-2<a<1.
此时x→0，以及x→1，f'(x)>0,又f(0)=f(1)=0，可见y=f(x)在（0，1）有零点.


2阶导数，在考试评分中不知道通得过没?如果时间有余的话，得分2次求导，并依次说明图象的变化情况吧.也许也会象一楼那么长.

踏歌而来

回复 1# chen、bin


经过仔细比照知道，不必强调"<2"，可将"<2"去掉。
由f(1)=0，即e-a-b-1=0，得b=e-a-1。
g(0)=1-b=1-(e-a-1)=2-e+a>0，得a>e-2。
g(1)=e-2a-b=e-a-b-1-a+1=-a+1>0，得a<1。
所以  a∈(e-2,1)。


这一部分的证明是 充分性证明，往往会被忽略。
证明只要a∈(e-2,1)则f(x)必然在(0,1)上有零点。
要是我求值，十有八九，这一部分会被我撂下。

若 g(ln(2a))≥0，则与f(0)=f(1)=0相矛盾，
所以 g(ln(2a))<0。
这是用反证法证明g(ln(2a))<0，当然可以。
如果你用别的方法证也可以，不过反证法在这里可能更省事。

踏歌而来

今天我把四川的理科数学试卷从头到尾做了遍。
刚才在做最后一题，即21题(Ⅱ)后，我翻看了标准答案，发现标准答案有问题，逻辑上存在问题。



在 $\frac{1}{2}<a<\frac{e}{2}$时，导数图象如上图，这时，要想f(x)在(0,1)上有零点，必须导数在其区间有两个零点，
这样，就必须g(0)>0，g(1)>0,g(ln(2a))<0。
a 必须同时满足 以上三个条件。 其中前两个条件，很容易解得 e-2<a<1。
最后一个条件是 超越方程，按普通方式解不了，于是就不解了，并且说，你必须这样，
否则，f(x)在(0,1)上没有零点，那我要找你，所以你必须<0。
这个从逻辑上讲是完全不通的。

最后一个是超越方程，解不了，这没有关系，把前面解出的e-2<a<1带入这个超越方程，如果满足，说明e-2<a<1是可行的。

踏歌而来

g(ln(2a))=3a-2aln(2a)+1-e
通过求导，存在一个最大值，在点$a=\frac{1}{2}\sqrt{e}上，值为\sqrt{e}+1-e$。
本想通过变形得出是否大于0，但没有做到，于是调出了电脑上的计算器，计算器上还没有e，
于是一位一位输入，最终得出略小于0。
$\frac{1}{2}\sqrt{e}在(\frac{1}{2},\frac{e}{2})上，因此，\frac{1}{2}<a<\frac{e}{2}就是所求$。

另外，可能不用证明充分性。

踏歌而来

其实，$\sqrt{e}+1-e是否小于0$，也可以用函数来判断。
这一步不一定要写入考卷中，可在草稿中完成。

$令f(x)=\sqrt{x}+1-x，则有f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$
$容易得出x∈(\frac{1}{4}，+∞)时单调递减。$

$考察 x=e的情况不太容易，我们换成上下的两个值x=2.7和x=2.8。$
$x=2.7时，\sqrt{2.7}+1-2.7＞1.6+1-2.7=-0.1$
$x=2.7时，\sqrt{2.7}+1-2.7<1.7+1-2.7=0$
到了这里，已经不需要再判断2.8了。
$e>2.7，所以f(e)<f(2.7)<0。$
$即有\sqrt{e}+1-e<0。$

其妙

回复 11# 踏歌而来
好同学，

chen、bin

回复 11# 踏歌而来

万分感谢