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kuing
发表于 2014-7-19 21:19
2010全国卷。
选择题的那些所谓“参考答案”都不是官方的，各人写的都不一样，有的可能写得很烂，不知道你看到的是怎么样的，所以最好将你看到的发发。
当年我最开始写的解法是调整法，那个更难理解，我就不说了。
后来补充了另一个解法，复制过来：
设$AB$的中点为$P$，$CD$的中点为$Q$，球心为$O$。
易知$P$, $Q$恒在一个球心也为$O$但半径比球$O$小的球面上，设其半径为$r$。
设$CD$与平面$ABQ$所成的角为$\alpha$，设$PQ$与$AB$所成角为$\beta$，则有
\[
V_{ABCD}=\frac13\S{ABQ}\cdot CD\cdot \sin\alpha,
\]
而显然有
\[\S{ABQ}=\frac12AB\cdot PQ\cdot\sin\beta \leqslant \frac12AB\cdot PQ\leqslant \frac12AB\cdot2r=AB\cdot r\]
（当$P$, $Q$, $O$三点共线时同时取等）以及$\sin\alpha \leqslant 1$（当$CD$与平面$ABQ$垂直时取等），所以
\[V_{ABCD}\leqslant \frac13AB\cdot r\cdot CD,\]
当$P$, $Q$, $O$三点共线且$AB\perp CD$时取等。
在本题中，$AB=CD=2$，易计算得$r=\sqrt3$，于是最大值就是$4\sqrt3/3$。 |
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