来自某教师群的实数三元不等式$\sum(x^2+2x)/(2x^2+1)\ge0$

kuing

题目：已知 $x$, $y$, $z\in\mbb R$ 满足 $x+y+z=0$，求证
\[\frac{x^2+2x}{2x^2+1}+\frac{y^2+2y}{2y^2+1}+\frac{z^2+2z}{2z^2+1}\geqslant 0.\]

这道题切线法难以行通，说用切线法的估计是没动过手，也没画过图，画过就不会这样说了。


依我看还是用柯西来玩吧。

证明：
\[\sum\frac{x^2+2x}{2x^2+1}\geqslant 0
\iff\sum\left( \frac{x^2+2x}{2x^2+1}+\frac12 \right)\geqslant \frac32
\iff\sum\frac{(2x+1)^2}{2(2x^2+1)}\geqslant \frac32,\]
设 $2x+1=a$, $2y+1=b$, $2z+1=c$，则 $a$, $b$, $c\in\mbb R$ 且 $a+b+c=3$，原不等式等价于
\[\sum\frac{a^2}{(a-1)^2+2}\geqslant \frac32,\]
由柯西不等式有
\[\sum\bigl( a^2(a-1)^2+2a^2 \bigr)\cdot \sum\frac{a^2}{(a-1)^2+2}\geqslant \left( \sum a^2 \right)^2,\]
所以要证原不等式只需证
\[2\left( \sum a^2 \right)^2\geqslant 3\sum\bigl( a^2(a-1)^2+2a^2 \bigr),\]
由条件有
\begin{align*}
3\sum\bigl( a^2(a-1)^2+2a^2 \bigr)&=3\sum a^4-6\sum a^3+9\sum a^2 \\
& =3\sum a^4-2\sum a\sum a^3+\left( \sum a \right)^2\sum a^2,
\end{align*}
即证
\[2\left( \sum a^2 \right)^2\geqslant 3\sum a^4-2\sum a\sum a^3+\left( \sum a \right)^2\sum a^2,\]
上式展开后容易配方为
\[a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2\geqslant 0,\]
显然成立，故原不等式得证。

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不妨设$x\ge y\ge z$
1.x,y,z都不在(-2,0)内，显然.
2.x,y,z有且只有一个在(-2,0)内
2.1.$z\in (-2,0)$,此时$0\le 2y^2+1\le 2x^2+1\le 2z^2+1$
\[LHS\ge\frac{2x}{2x^2+1}+\frac{2y}{2y^2+1}+\frac{2z}{2z^2+1}\ge  \frac{2x}{2z^2+1}+\frac{2y}{2z^2+1}+\frac{2z}{2z^2+1}=0\]
2.2.$y\in (-2,0)$,
则容易得\[\frac{x^2+2x}{2x^2+1}\ge \frac{1}{2}, \frac{y^2+2y}{2y^2+1}\ge -\frac{1}{2},\frac{z^2+2z}{2z^2+1}\ge0\]
3.x,y,z有且只有两个在(-2,0)内
问题等价于\[\frac{x^2+2x}{2x^2+1}+\frac{4y^2z^2+4zy^2+4yz^2+2y+2z+y^2+z^2}{(2y^2+1)(2z^2+1)}\ge0\]
\[又y^2z^2+y^2\ge -2y^2z,y^2z^2+z^2\ge -2z^2y\]
只需要证明\[\frac{x^2+2x}{2x^2+1}+\frac{2zy^2+2yz^2+2y+2z}{(2y^2+1)(2z^2+1)}\ge0\]
\[即\frac{x^2+2x}{2x^2+1}+\frac{-2zyx-2x}{(2y^2+1)(2z^2+1)}\ge0\]
\[即\frac{x+2}{2x^2+1}+\frac{-2zy-2}{(2y^2+1)(2z^2+1)}\ge0--几何画板画了下图，已经错了，y=-0.4,z=-1\]