求最大最小最小公倍数

tommywong

$n>4,a_1,a_2,...,a_n$均不超过2n的自然数，证明$min_{i \neq j} [a_i,a_j] \le 6([\frac {n}{2}]+1)$。这里$[a_i,a_j]$表示$a_i,a_j$的最小公倍数。

题目稍为混乱，以下解释：

n=2时，自然数有1,2,3,4，每一组有2个数，最小最小公倍数为最小公倍数，当中最大的是[3,4]=12。

n=3时，自然数有1,2,3,4,5,6，每一组有3个数，考虑4,5,6这一组，最小最小公倍数为[4,6]=12。

n=4时，自然数有1,2,3,4,5,6,7,8，每一组有4个数，考虑5,6,7,8这一组，最小最小公倍数为[6,8]=24。

n=5时，考虑6,7,8,9,10这一组，最小最小公倍数为[6,9]=18。

n=6时，考虑7,8,9,10,11,12这一组，最小最小公倍数为[8,12]=24。

n=7时，考虑8,9,10,11,12,13,14这一组，最小最小公倍数为[8,12]=24。

n=8时，考虑9,10,11,12,13,14,15,16这一组，最小最小公倍数为[10,15]=30。

tommywong

n+1,n+2,...,2n是n个连续数，有因数1,2,...,n
假如在{n+1,n+2,...,2n}把一个数x换成{1,2,...,n}中的数y
若x为y的倍数，$min_{i \neq j} [a_i,a_j]$的值更少
（在{6,7,8,9,10}把6换成{1,2,3,4,5}中的3）
若x与y互质，且z为y的倍数，$[a_i,y] \le [a_i,z],[y,z]=z$
（在{6,7,8,9,10}把6换成{1,2,3,4,5}中的5，$[a_i,5] \le [a_i,10],[5,10]=10$）
{n+1,n+2,...,2n}的最小最小公倍数最大

{n+1,n+2,...,2n}弄不出[x,x]=x、[x,2x]=2x、[x,3x]=3x、[2x,4x]=4x、[x,5x]=5x
考虑最小的[2x,3x]=6x，可从{n+1,n+2,...,2n}挑出最小的偶数$2([\frac{n}{2}]+1)$，
若$3([\frac{n}{2}]+1) \le 2n$，即{n+1,n+2,...,2n}中存在$3([\frac{n}{2}]+1)$
$3([\frac{n}{2}]+1)<\frac{3n}{2}+3 \le 2n \rightarrow n \ge 6$，$n=5$时$9 \le 10$

caijinzhi

谢谢！

caijinzhi

回复 2# tommywong
请老师最好把[2x,3x]=6x  最小 证明一下，虽然根据老师的证明，学生也直觉能想到，但总感觉有失严密。特此请教老师。

caijinzhi

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2014-8-1 16:20 Upload

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把<6x的公倍数都排除，后发现与不小于6的数字的的公倍数大于等于6，最后就留一个【2，3】=6

tommywong

补上这个

$\displaystyle [k_1([\frac{n}{k_1}]+1),k_2([\frac{n}{k_1}]+1)]=k_1k_2([\frac{n}{k_1}]+1) \ge k_2 n>3n+6 \rightarrow n>\frac{6}{k_2-3}$