百度数列吧的一题

赤睛

数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$满足${a_{n + 1}} = \displaystyle\frac{{a_n^3 - 3{a_n}}}{{3a_n^2 - 1}}$，能否求$a_1$的值，使$\left\{ {{a_n}} \right\}$为无穷数列

tommywong

这题有地雷吗？踩踩看
$\displaystyle a_1 \neq -\sqrt{3},-\frac{1}{\sqrt{3}},0,\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{3}$

kuing

let $a_n=\tan b_n$ ...

kuing

还可以试试复数，设 $i$ 为虚数单位，则
\begin{align*}
a_{n+1}-i & =\frac{a_n^3-3a_n}{3a_n^2-1}-i
=\frac{a_n^3-3a_n^2i+3a_ni^2-i^3}{3a_n^2-1}
=\frac{(a_n-i)^3}{3a_n^2-1} ,\\
a_{n+1}+i & =\frac{a_n^3-3a_n}{3a_n^2-1}+i
=\frac{a_n^3+3a_n^2i+3a_ni^2+i^3}{3a_n^2-1}
=\frac{(a_n+i)^3}{3a_n^2-1} ,
\end{align*}
两式相除得
\[\frac{a_{n+1}-i}{a_{n+1}+i}=\left(\frac{a_n-i}{a_n+i}\right)^3,\]
……

琉璃幻

唔哟点

爪机专用

唔哟点
琉璃幻 发表于 2014-10-18 06:28

？？？

羊1234

还可以试试复数，设 $i$ 为虚数单位，则
\begin{align*}
a_{n+1}-i & =\frac{a_n^3-3a_n}{3a_n^2-1}-i
=\fr ...
kuing 发表于 2014-8-5 14:52

这样可以？这样真的好吗。。。

爪机专用

回复 7# 小芳

我也不知道

Tesla35

回复 6# 爪机专用
他在说不动点吧。渣渣幻

青青子衿

回复 4# kuing
极像！
1986年理科高考第八題
\[{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n}\left( {{x_n}^2 + 3} \right)}}{{3{x_n}^2 + 1}}\]
哈雷(因计算哈雷彗星轨道而闻名于世)迭代法
《數學傳播》28卷1期：w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d281/28109.pdf
《數學傳播》28卷1期民93年3月  P91
也可参看1986年第八期《數學通報》p.39∼42

活着＆存在

回复 4# kuing