格点三角形

青青子衿

图中每相邻的三个点“∵”或“∴”，都构成全等的面积为 1 的小三角形。问图中黑线勾出的三角形的面积有多大？

最好不要用正三角形开形网格中的皮克公式
26(2013年江苏省常州市中考数学)．用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为\(1\)的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为\(S\)，该多边形各边上的格点个数和为\(a\)，内部的格点个数为\(b\)，则\(S=\frac{1}{2}a+b-1\)（史称“皮克公式”）．
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为\(1\)，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：
根据图中提供的信息填表：
\begin{array}{|l|c|r|r|}
\hline
& 格点多边形各边上的格点的个数 & 格点多边形内部的格点个数 & 格点多边形的面积 \\
\hline
多边形1 & 8 & 1 & ? \\
\hline
多边形2 & 7 & 3 & ? \\
\hline
\cdots &  \cdots &  \cdots &  \cdots \\
\hline
一般格点多边形 & a & b & S \\
\hline
\end{array}

isee

奥地利数学家皮克（Georg Alexander Pick，1859～1943）在1899年发现了上述公式，并进行了证明.
这个公式被称为“皮克定理”，该定理被誉为有史以来“最重要100个的数学定理”之一.

类似的应用，高考里出现过很多次了

isee

就是这玩意，估计，你们会进来，看看。

hbghlyj

Ehrhart多项式
用$S_2(\Delta)$表示$\Delta$的一维边界上的格点数,则n=2时定理为Pick定理.$$l_{\Delta}(k)=\operatorname{Vol}(\Delta) k^{2}+\frac{1}{2} S_{2}(\Delta) k+1$$用$S_3(\Delta)$表示$\Delta$的二维边界上的格点数,则n=3时定理为
$$
l_{\Delta}(k)=\operatorname{Vol}(\Delta) k^{3}+\frac{1}{2} S_{3}(\Delta) k^{2}+a_{1} k+1
$$