来自善科题库的数学趣题：求长度的几何题

青青子衿

有巧妙的方法，待会公布~

kuing

设角，然后 $\sec\theta+\csc\theta=4$，平方化简得到 $\sin2\theta$ 的方程解一下应该就没啥问题了，过程就懒得写了。

青青子衿

回复 2# kuing

设角，然后 $\sec\theta+\csc\theta=4$，平方化简得到 $\sin2\theta$ 的方程解一下应该就没啥问题了，过程 ...
kuing 发表于 2014-8-9 20:56

设顶角为\(t\)，那么\(\frac{1}{\sin t}+\frac{1}{\cos t}=4\)，得到\(\frac{\sin t+\cos t}{2}=2\sin t\cos t\)，\(\frac{\sin t+\cos t}{2}=(\sin t+\cos t)^2-1\)，于是解得\(\sin t+\cos t=\frac{1+\sqrt{17}}{4}\)，代入前式得\(\sin t\cos t=\frac{1+\sqrt{17}}{16}\)，根据韦达定理得两根：\(\cos t=\frac{1+\sqrt{17}\pm\sqrt{14-2\sqrt{17}}}{8}\)，乘以4即可

其妙

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答案是？

kuing

粤爱好者何万程(1785***) 2014-08-20 17:31:10
另一直角边设为y，则
x^2+y^2=4^2
根据三角形相似得
(x-1)/1=x/y
整理得
x+y=xy
结合上一方程得
(x+y)^2-2(x+y)-16=0，
求得x+y后就很容易了

其妙

回复 5# kuing
我正想用那个结论，就是何版相似三角形的那个，不过是倒数和形式