抽象函数

lrh2006

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2^n+1）=9；
③函数f（x）的值域为[0，+∞）；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^(k+1)）”．
其中所有正确结论的序号是①③④
第④个不清楚，能否解释证明一下，谢谢！

kuing

bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=666968&page=3#pid5221403
47楼

lrh2006

谢谢万能的kuing.图象一画，就一目了然了。我想再问一下，要是不画图，由“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，怎样推出“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^(k+1)）”，谢谢．

kuing

回复 3# lrh2006

由（3）的推理过程就可以啦，图象也是由（3）的推理得出来的，图我只是顺手画画，其实不画也没所谓。

lrh2006

回复 4# kuing


    不好意思，还是不太明白。若“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^(k+1)）”，则由（3)的推理知，当 x∈(2^k,2^(k+1)] 时，f(x)=2^(k+1)-x ，从而“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，但是反过来，若“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，此时表达式未知，如何证明“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^(k+1)）”

lrh2006

怎么没人理我呀？是不是觉得我的问题不值得回答啊？虽然kuing说由（3）的推理知道（4）显然成立，但是我还是不明白必要性怎么证明，求解释，谢谢！