求秒杀的方法

lrh2006

kuing

很简单啊
即
\[(x-a)^2+\left( \frac1x+a \right)^2\geqslant 9,\]
对任意 $x>0$ 恒成立，将其配方为
\[\left( x-\frac1x-a \right)^2+a^2\geqslant 7,\]
由于当 $x>0$ 时 $x-1/x$ 的值域为 $\mbb R$，所以上式左边的最小值为 $a^2$，因此上式任意 $x>0$ 恒成立当且仅当 $a^2\geqslant 7$。

lrh2006

回复 2# kuing


    嗯，方法很妙，但是那个配方有点神奇，不是我们这些地球人能想到的。kuing神能不能有更通俗的方法，在高中比较常用的方法？谢谢

kuing

那配方也就那么两三步的事儿啊
\begin{gather*}
(x-a)^2+\left( \frac1x+a \right)^2\geqslant 9 ,\\
x^2+\frac1{x^2}-2ax+\frac{2a}x+2a^2\geqslant 9 ,\\
\left( x-\frac1x \right)^2-2a\left( x-\frac1x \right)+2a^2\geqslant 7 ,\\
\left( x-\frac1x-a \right)^2+a^2\geqslant 7,
\end{gather*}

lrh2006

回复 4# kuing

问题是根本想不到配方，嘻嘻……只想着能否用几何方法快速求解

kuing

这……

那就帮不了你了……

乌贼

以$(a,-a)$为圆心，半径为3的圆方程，与$y=\dfrac1{x}$只有一交点求出$a$值。

kuing

回复 7# 乌贼

继续写下去呀

其妙

类题演练：2013年江苏高考第13题

blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101fhyi.html

isee

全国卷的，II吧，那个导数题，参答对$e^x\pm e^{-x},e^{2x}\pm e^{-2x}$处理更是“超人”一步

此楼kuing的代数秒，多么合乎情理，意料之外~

乌贼

回复 8# kuing
等价于圆心在直线$x+y=0$上，半径为$3$的圆于曲线$xy=1(x>0)$有交点，求圆心坐标的取值范围，有$\left\{\begin{aligned}&(x-a)^2+(y+a)^2=9\\&y=\dfrac1{x}\end{aligned}\right.$
$x^2-2ax+a^2+\dfrac1{x^2}+\dfrac{2a}{x}+a^2=9$即
$(x-\dfrac1{x})^2-2a(x-\dfrac1{x})-7+2a^2=0$
$\Delta=4a^2+28-8a^2\geqslant0\riff a\geqslant\sqrt7$

isee

倒数第二行才是关键，一回事，其实

另外，代码还有有少\的

kuing

回复 11# 乌贼

还不是回到代数上，没啥几何的东西

乌贼

回复 12# isee
写代码是一件痛苦的事

kuing

回复 14# 乌贼

善用草稿本……

lrh2006

谢谢楼上各位高手