2014江西竞赛

wzxsjz

请帮忙
设$a_1,a_2,\cdots,a_n$均为正实数，$n\in N_+$,证明：
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{a_1+a_2+\cdots+a_k}<4 \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{a_k}\]

realnumber

重写下
由cauchy不等式
\[(1+2+3+\cdots+k)^2\le (a_1+a_2+\cdots+a_k)(\frac{1}{a_1}+\frac{2^2}{a_2}+\cdots+\frac{k^2}{a_k})\]
等价变形为
\[\frac{k^2}{a_1+a_2+\cdots+a_k}\le\frac{4}{(k+1)^2}(\frac{1}{a_1}+\frac{2^2}{a_2}+\cdots+\frac{k^2}{a_k})\]
这样$\frac{4}{a_1}$的系数是$\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{(n+1)^2}\le 1$倒数平方的和这样放缩$\frac{1}{i^2}<\frac{1}{(i-1)i}$.
其它$\frac{4}{a_i}$的系数也一样。但愿草稿纸上没写错。
以前在k12解过类似的。没找到。
就这个了
blog.sina.com.cn/s/blog_b7abba5a010178ws.html

hbghlyj

realnumber 发表于 2014-8-29 11:46
以前在k12解过类似的。没找到。
就这个了
blog.sina.com.cn/s/blog_b7abba5a010178ws.html

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