复合最值问题

nash

kuing

回复 1# nash

发原题吧

nash

回复 2# kuing


    原题就是分母上多了a+b+c,所以才问问这个能不能做,还有这两个是不是等价的？

kuing

回复 3# nash

那天瞄了一眼你在群里发的，好像并不一样

提问的都应将原题原原本本发一遍，至于你自己转化的你可以在后面补充。

nash

原题有些区别
[img]

kuing

回复 5# nash

这样的话，设 $a+b+c=1$ 没问题，因为已知条件关于 $a$, $b$, $c$  齐次，所求式子也是齐 $0$ 次。
但是 $\max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\}$ 的最小值与 $\min\{\max\{a,b,c\}\}-\max\{\min\{a,b,c\}\}$ 是不同的，
就像 $f(x)-g(x)$ 的最小值与 $f(x)_{\min}-g(x)_{\max}$ 是不同的那样。

nash

回复 6# kuing
也就是说这是两个函数啦，这道题的话，最小是7/36？那还是转化出了问题…
原题怎么搞？

kuing

回复 7# nash

像6楼那样的写法，$\max\{a,b,c\}$ 就相当于一个三元函数 $f(a,b,c)$，但是 $\min\{\max\{a,b,c\}\}$ 中的 $\min$ 则是最小值的意思，相当于 $f(a,b,c)_{\min}$。
所以我昨天在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2991 这个贴子里也说过，写题目最好不要这样写，容易混淆。

$\min\{\max\{a,b,c\}\}-\max\{\min\{a,b,c\}\}$ 的话就是 4/9-1/4 ，至于原题还得做做才知道。

kuing

原题即：已知 $a$, $b$, $c>0$, $b^2-4ac\geqslant 0$，求 $(\max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\})/(a+b+c)$ 的取值范围。

PS、我就不设 $a+b+c=1$ 了，虽然这样设没问题，但是其实没什么作用。

解：由于 $a$, $c$ 对称，不妨设 $a\geqslant c$，则显然 $b>c$，故
\[\frac{\max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\}}{a+b+c}=\frac{\max\{a,b\}-c}{a+b+c}.\]

（1）如果 $b>2a$，则
\[\frac{\max\{a,b\}-c}{a+b+c}=\frac{b-c}{a+b+c}\geqslant \frac{b-a}{2a+b}>\frac14;\]

（2）如果 $2a\geqslant b\geqslant a$，则
\[\frac{\max\{a,b\}-c}{a+b+c}=\frac{b-c}{a+b+c}\geqslant \frac{b-\frac{b^2}{4a}}{a+b+\frac{b^2}{4a}}=\frac{4ab-b^2}{(2a+b)^2},\]
而
\[\frac{4ab-b^2}{(2a+b)^2}-\frac14=\frac{(2a-b)(5b-2a)}{(2a+b)^2}\geqslant 0\riff \frac{\max\{a,b\}-c}{a+b+c}\geqslant \frac14;\]

（3）如果 $a>b$，则
\[\frac{\max\{a,b\}-c}{a+b+c}=\frac{a-c}{a+b+c}\geqslant \frac{a-\frac{b^2}{4a}}{a+b+\frac{b^2}{4a}}=\frac{2a-b}{2a+b}>\frac13.\]

综合（1）（2）（3）知
\[\frac{\max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\}}{a+b+c}\geqslant \frac14,\]
当 $b=2a=2c$ 时取等；

另一方面，显然 $\max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\}<a+b+c$，当 $b=1$, $a=c\to0$ 时满足条件且 $(\max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\})/(a+b+c)\to1$。

而 $(\max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\})/(a+b+c)$ 是连续函数，故综上可知所求的取值范围为 $[1/4,1)$。