边长为$a,b,c,d$的四边形，有$a^2+b^2+c^2>\frac 13d^2$.

isee

证明：对任一边长为$a,b,c,d$的四边形，有$a^2+b^2+c^2>\dfrac 13d^2$.

kuing

我擦，还能不能再弱点……a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3>d^2/3

isee

回复 2# kuing


    $a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3$，这个不等式的证明难度是否比原题还难些？或者换句话说，杀鸡不用牛刀，能否从容易处入手？

kuing

回复 3# isee

如果这也算牛刀那我也无能为力了

其妙

回复 4# kuing
牛笔！一个柯西搞定，原来是结论四边形相邻三边和大于第四边，
这是三角形的推广，
类似的，任意$n$边形，边长依次为$a_1,a_2,\cdots,a_n$，则$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2>\dfrac{a_n^2}{n-1}$

isee

回复 4# kuing


    哈哈，柯西推论，直击心脏……不过，这也算“重、、武、、器”了

kuing

回复 6# isee

其实随你怎么看，可以看成柯西，也可以看成其他，展开后其实也等价于 a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca ，那么既可以看成均值也可以直接说配方什么的……反正都相通

isee

回复 7# kuing


    所以从这里出发，反着书写就是最容易懂的过程了。

isee

当然，(从不等式角度）类似的，可以有

\[a^4+b^4+c^4\geqslant \frac {d^4}{27}\]