空间四点，四个直角，则共面

isee · 发表于 2014-9-7 17:01

设$A,B,C,D$是空间四点，使得$\angle ABC=\angle BCD =\angle CDA=\angle DAB=90^{\circ}$.
证明：$A,B,C,D$四点共面.

PS：这是一道陈题，人教论坛讨论过，不过，这里倾向于经典题型“归档”。

kuing · 发表于 2014-9-7 17:31

陈得不得了，不过虽然是FAQ，我这也只收了两个链接：
bbs.pep.com.cn/thread-339400-1-1.html
kkkkuingggg.haotui.com/thread-944-1-5.html

isee · 发表于 2014-9-18 20:20

本帖最后由 isee 于 2014-9-18 20:35 编辑 如果此命题从四面体的面角入手，还是有点意思的。

不过，这里需要一个大家基本已经忘记的立体几何定理：

三面角的两个面角之和大于第三个面角。

isee · 发表于 2014-9-18 20:33

回复 3# isee

如图示：

假设$A$，$B$，$C$，$D$四点不共面，则（对每一个三角面均类似）

\[\angle ABD+\angle DBC>\angle ABC=90^{\circ},\cdots\]

得到四个不等式，相加，再由$\angle ABC+\angle BCD+\angle CDA \angle DAB=360^{\circ}$，知，此四面体，四个三角形面的所有面角之和超过$720^\circ$（每个三角形内角和$180^{\circ}$），这显然矛盾，所以$A$，$B$，$C$，$D$共面。

PS：有时候，看很老的资料，重拾记忆也有灵光一闪的时候……

nash · 发表于 2014-9-28 11:22

都是高手

nash · 发表于 2014-9-28 11:31

若为空间四边形，
设AC中点为M,BD中点为N，M，N都为外接球球心，故M,N重合，所以为平面四边形且为矩形

爪机专用 · 发表于 2014-9-28 11:39

都是高手

nash · 发表于 2014-9-28 13:24

关键是你们打码方面都是高手

kuing · 发表于 2014-9-28 16:02

回复 8# nash

哪有，我只会对静态图打码，动态gif的打码还不会，片子的就更不会了……

		自动登录	找回密码
密码			快速注册

[几何] 空间四点，四个直角，则共面