实数$7^{9999}$的最后三位数字是什么？

isee

RT

tommywong

$7^{9999} \equiv (-1)^{9999} \equiv -1 (mod2^3)$

$\displaystyle x^{15+4n} \equiv \sum_{i=1}^3 (-1)^{i-1} C_{n+i-1}^{i-1} C_{n+3}^{3-i} x^{15-4i} (mod5^3)$

$7^{9999} \equiv C_{2499}^2 7^{11}-C_{2497}^1 C_{2499}^1 7^7+C_{2498}^2 7^3 \equiv 7^{11}-3\times 7^7+3\times 7^3 \equiv 18(mod5^3)$

$7^{9999} \equiv 8\times 47\times 18+3\times 125 \equiv 143(mod10^3)$

乌贼

等价于$7^{9999}$除以$1000$的余数是多少。

kuing

回复 3# 乌贼

能不能再废话点……

乌贼

回复 4# kuing

，主要是二楼的太高端看不懂……

tommywong

那个公式在这里：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2811&extra=page%3D6

用$7^{10} \equiv -1(mod5^3)$也可以，但我喜欢这样做

isee

tommywong 结果是完全正确的。

这里再重复 tommywong 的方式，给一个容易看明白的过程（转载）：
先试下，$7^2=49$，$7^3=343$，$7^4=2401=24\times 100+1$，于是(主要用二项式定理展开）：

\begin{align*}
7^{9999}&=7^3\times 7^{9996}\\
&=343\times (7^4)^{2499}\\
&=343\times 2401^{2499}\\
&=343\times (1+2400)^{2499}\\
&\equiv 343\times (1+2499\times2400)\pmod {1000}\\
&=343\times [1+(2500-1)\times2400]\\
&\equiv 343\times (1-2400)\pmod {1000}\\
&\equiv 343\times 601 \pmod {1000}\\
&\equiv 143 \pmod {1000}
\end{align*}

kuing

回复 7# isee

(mod 1000)  ->  \pmod{1000}

其妙

回复  isee

(mod 1000)  ->  \pmod{1000}
kuing 发表于 2014-9-18 15:32

精益求精！

realnumber

回复 5# 乌贼
孙子定理  可问度娘

乌贼

回复 10# realnumber
孙子定理

零定义

暴力一点
$7^4=2401\equiv 401\pmod{1000}$
$7^{9999}=7^{4\times2499+3}\equiv 401^{2499}\times7^3=(400+1)^{2499}\times7^3\equiv (2499\times{400}+1)\times7^3\equiv (1-400)\times7^3=(49-400\times49)\times7\equiv 449\times7=3143\equiv 143\pmod{1000}$

kuing

回复 12# 零定义

擦，好久没见

零定义

回复 13# kuing
呵呵~确实好久不见了~