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战巡
发表于 2014-9-11 04:41
$n=1$就不说了
$n=2$时
\[\sin(x)\sin(2x)+\cos(x)\cos(2x)=\cos(x)=1, x=0\]
$n>2$时
\[\prod_{k=1}^n\sin(kx)+\prod_{k=1}^n\cos(kx)\le \abs{\prod_{k=1}^n\sin(kx)}+\abs{\prod_{k=1}^n\cos(kx)}\]
\[\le \abs{\sin(x)\sin(2x)}+\abs{\cos(x)\cos(2x)}\]
易证$\abs{\sin(x)\sin(2x)}+\abs{\cos(x)\cos(2x)}\le 1$且等号成立时有$x=0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$
因此当$\prod_{k=1}^n\sin(kx)+\prod_{k=1}^n\cos(kx)=1$时必然有
\[\prod_{k=1}^n\sin(kx)+\prod_{k=1}^n\cos(kx)=\abs{\sin(x)\sin(2x)}+\abs{\cos(x)\cos(2x)}=1\]
于是可能的取值只有上面所说的几个，可以一个一个试
显然$x=0$是肯定可以的
而当$n>2$时，易证$\prod_{k=1}^n\sin(k(\frac{p\pi}{3}))=0, p=1,2,3,4,5$
因此要求$\prod_{k=1}^n\cos(kx)=1$，仅当$x=\pi, n \mod 4=3,0 $时成立
所以总体来说，就是当$n \mod 4=3,0$时，有两解$x=0, x=\pi$，其他时候只有一解$x=0$ |
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