2014浙江

wzxsjz

解方程：$x\in [0,2\pi)$
$$\prod_{k=1}^{n}sin(kx)+\prod_{k=1}^{n}cos(kx)=1$$

战巡

$n=1$就不说了
$n=2$时
\[\sin(x)\sin(2x)+\cos(x)\cos(2x)=\cos(x)=1, x=0\]
$n>2$时
\[\prod_{k=1}^n\sin(kx)+\prod_{k=1}^n\cos(kx)\le \abs{\prod_{k=1}^n\sin(kx)}+\abs{\prod_{k=1}^n\cos(kx)}\]
\[\le \abs{\sin(x)\sin(2x)}+\abs{\cos(x)\cos(2x)}\]
易证$\abs{\sin(x)\sin(2x)}+\abs{\cos(x)\cos(2x)}\le 1$且等号成立时有$x=0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

因此当$\prod_{k=1}^n\sin(kx)+\prod_{k=1}^n\cos(kx)=1$时必然有
\[\prod_{k=1}^n\sin(kx)+\prod_{k=1}^n\cos(kx)=\abs{\sin(x)\sin(2x)}+\abs{\cos(x)\cos(2x)}=1\]

于是可能的取值只有上面所说的几个，可以一个一个试
显然$x=0$是肯定可以的
而当$n>2$时，易证$\prod_{k=1}^n\sin(k(\frac{p\pi}{3}))=0, p=1,2,3,4,5$
因此要求$\prod_{k=1}^n\cos(kx)=1$，仅当$x=\pi, n \mod 4=3,0 $时成立

所以总体来说，就是当$n \mod 4=3,0$时，有两解$x=0, x=\pi$，其他时候只有一解$x=0$

wzxsjz

谢谢！我一有难事，巡就出手相助！

其妙

谢谢！我一有难事，巡就出手相助！
wzxsjz 发表于 2014-9-11 12:39

巡版战无不克，攻无不胜！
这里也有：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102uyc1.html（见文末哟！）

wzxsjz

回复 4# 其妙


谢谢相助！