△ABC的内切圆半径为2，求最小面积

第一章

△$ABC$的内切圆半径为2，且$\tan A=-\frac{4}{3}$，求$△ABC$的最小面积？
哪位知道此题的出处？

kuing

随便吧，反正也不是什么难题，也可能出现过很多回……

第一章

一个老师出的阶段考的题目，
尼玛，有必要？

isee

回复 2# kuing


还是阶段练习，我个人觉得不容易，即使把内切半径换成外接圆半径，还是有难度的。
猜测是等腰三角形的时候吧，过程还是思考中

isee

回复 3# 第一章


    改自 2009全国高中数学联赛新疆预赛试题 第14题，原求面积最小值

其妙

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    改自 2009全国高中数学联赛新疆预赛试题 第14题，原求面积最小值 ...
isee 发表于 2014-9-13 08:38

牛呀!阅题无数！

isee

回复 6# 其妙

你错啦，改最小值后，搜出来的。





题目容易得到如图结果，再由余弦定理\[(x+y)^2=(1+x)^2+(1+y)^2+\frac 65(1+x)(1+y)\]

化简即为\[xy=4(x+y)+4\]

而\[S=pr=2(1+x+y)=2(x+y)+2\]

于是基本不等即可，但是得到的结果是此三角形面积最小值：$18＋8\sqrt 5$。





这个最大面积如何求？




其次，如果注意到$S=\frac 25(1+x)(1+y)$，整体考虑，即，将$1+x=b，1＋y=c$，将余弦定理得到的式子，可变形为

\[(b+c-2)^2=b^2+c^2+\frac 65bc\]

以下如2009的年，标答相同，也是最小值。


原求最小值的答案是用两次面积相等得到关系式，轻巧。

isee

嗯，改成外接圆半径则有最大值。

第一章

晕，我写错了，的确是最小面积
ps，如何修改标题？

isee

回复 9# 第一章

已经改了呀

kuing

真没啥难的啊……
\begin{align*}
2S&=(a+b+c)r \\
& =\bigl(\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}+b+c\bigr)r \\
& \geqslant \bigl(\sqrt{2bc-2bc\cos A}+2\sqrt{bc}\bigr)r \\
& =\left( \sqrt{\frac{4S(1-\cos A)}{\sin A}}+2\sqrt{\frac{2S}{\sin A}} \right)r \\
& =2\sqrt S\left( \sqrt{\tan\frac A2}+\sqrt{\frac2{\sin A}} \right)r,
\end{align*}
即得
\[\sqrt S\geqslant \left( \sqrt{\tan\frac A2}+\sqrt{\frac2{\sin A}} \right)r,\]
当且仅当 $b=c$ 时取等。

kuing

就楼上这种结论估计也是早被玩烂了的东西，所以找出处何必……

第一章

我知道题目不难。
不过因为在阶段考的试卷看到，以为是高考题。
话说回来，作为阶段考的题，太难了……

isee

回复 13# 第一章


    跟kuing说难还是不难，那是扯蛋~

其妙

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    跟kuing说难还是不难，那是扯蛋~
isee 发表于 2014-9-13 16:44