2014希望杯初一精英

wzxsjz

整数a,b,c.d,e,满足:$$|a|\geqslant|b+20|,|b|\geqslant|c+14|,|c|\geqslant|d+7|,|d|\geqslant|e+23|,$$那么$ |a|+|b|+|c|+ |d|+ |e|$的最小值为_________


另外，为什么$|a|+|b|+|c|+|d|+|e|$中,绝对值符号不清晰

isee

题目不完整

kuing

另外，为什么$|a|+|b|+|c|+|d|+|e|$中,绝对值符号不清晰

很清晰啊

isee

回复 1# wzxsjz


    绝对值a：\abs{a} 与你的写法是在论坛并没判别，很清晰的

kuing

回复 4# isee

可能是他浏览器问题。
PS、多数情况下 \abs{a} 与 |a| 没分别。（有分别的如 \abs{-2} 与 |-2|）
PPS、擦，这道题初一？尼玛我想来想去都想不出好法子来……
PPPS、其实整数的条件可以去掉

kuing

如果用以下证法来说明这道题可以让初中生做，那我只能先潜水了……
\begin{align*}
\abs a+\abs b+\abs c+\abs d+\abs e
&\geqslant \abs{b+20}+\abs b+\abs{e+23}+\abs e\\
&\geqslant \abs{b+20-b}+\abs{e+23-e}\\
&=43,
\end{align*}
当 $a=0$, $b=-20$, $c=0$, $d=-7$, $e=-16$ 时取等。

isee

回复 6# kuing


    这解法有通性，可能正是因为没用整数条件，故而如此，只是猜测

爪机专用

回复 7# isee

我怎么没感觉到哪里通了

isee

回复 8# 爪机专用


    消元啊，这题只能猜一下：43，而且还不知对错（在没有你的过程之前），哈哈

kuing

回复 9# isee

其实我没有去猜，我是先从折线函数的特性考虑，逐步调整得到结果，然后再反观取等条件而得到上面的解法。

将草稿整理出来的逐步调整过程如下：
\begin{align*}
& \abs a+\abs b+\abs c+\abs d+\abs e \\
\geqslant{}& \abs{b+20}+\abs b+\abs c+\abs d+\abs e \\
\geqslant{}& \min \{\abs{c+14+20},\abs{-c-14+20}\}+\abs{c+14}+\abs c+\abs d+\abs e \\
={}&\min \{\abs{c+34},\abs{c-6}\}+\abs{c+14}+\abs c+\abs d+\abs e \\
={}&\abs{c+34}+\abs{c-6}-20+\abs c+\abs d+\abs e \\
\geqslant{}& \min \{\abs{d+7+34}+\abs{d+7-6},\abs{-d-7+34}+\abs{-d-7-6}\}-20+\abs{d+7}+\abs d+\abs e \\
={}&\min \{\abs{d+41}+\abs{d+1},\abs{d-27}+\abs{d+13}\}-20+\abs{d+7}+\abs d+\abs e \\
={}&\abs{d+41}+\abs{d-27}-28-20+\abs{d+7}+\abs d+\abs e \\
\geqslant{}& \min \{\abs{e+23+41}+\abs{e+23-27}+\abs{e+23+7}, \abs{-e-23+41}+\abs{-e-23-27}\\
&+\abs{-e-23+7}\}+\abs{e+23}+\abs e-48 \\
={}&\min \{\abs{e+64}+\abs{e-4}+\abs{e+30}, \abs{e-18}+\abs{e+50}+\abs{e+16}\}+\abs{e+23}+\abs e-48 \\
={}&\abs{e+64}+\abs{e+30}+\abs{e+16}+\abs{e-18}-21+\abs e-48 \\
\geqslant{}& \abs{-16+64}+\abs{-16+30}+\abs{-16-18}-21+\abs{-16}-48\\
={}&43.
\end{align*}
然后取等条件从后面看起，由 $e=-16$ 反推回去……

PS、调整的过程发现数据每次都刚刚好可以将 min 化掉……