证明：$\cos (\sin x)>\sin (\cos x)$

isee

证明：对所有实数$x$（弧度），有$\cos (\sin x)>\sin (\cos x)$.

wzxsjz

$\sin x+\cos x\leqslant \sqrt2<\frac{\pi}{2}$

isee

回复 2# wzxsjz


    然后呢？

wzxsjz

分象限讨论即可

isee

回复 4# wzxsjz


    如果有“闲”，写出来学习一下。

其妙

回复 5# isee
$\cos (\sin x)>\sin (\cos x)\Longleftrightarrow \cos (\sin x)>\cos (\dfrac{\pi}2-\cos x)\Longleftrightarrow \sin x<\dfrac{\pi}2-\cos x\Longleftrightarrow \sin x+\cos x<\dfrac{\pi}2$

kuing

回复 6# 其妙

第二个 \iff 不 f 吧

wzxsjz

只需证明对所有满足$ -\frac{\pi}{2} \le x\le\frac{3\pi}{2}的实数x$，有$\cos(\sin x)>\sin(\cosx)
当$0 \le x\le\frac{\pi}{2}$时，$\sin x+\cos x<\frac{\pi}{2}$,得出$\cos(\sin x)>\sin(\cos x)
当$-\frac{\pi}{2}\le x\le0$时，$ 0 \le -x\le\frac{\pi}{2}$，根据上述得出$\cos[\sin(-x)]>\sin[\cos(-x)]$,即$\cos(\sin x)>\sin(\cos x)$
到此已经证明，当$ -\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$时，有$\cos(\sin x)>\sin(\cos x)$
当$ \frac{\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$时，$ -\frac{\pi}{2}< -1\le\sin x\le1<\frac{\pi}{2}$,$\cos(\sin x)>0,$
$-\frac{\pi}{2}<-1\le\cos x\le0,\sin(\cos x)\le0$,得出$\cos(\sin x)>\sin(\cos x)$
打字慢，回复得太晚，失敬！

其妙

回复 8# wzxsjz