证明：$\cos (\sin x)>\sin (\cos x)$

isee · 发表于 2014-9-16 20:06

证明：对所有实数$x$（弧度），有$\cos (\sin x)>\sin (\cos x)$.

wzxsjz · 发表于 2014-9-17 18:41

本帖最后由 wzxsjz 于 2014-9-17 18:47 编辑 $\sin x+\cos x\leqslant \sqrt2<\frac{\pi}{2}$

isee · 发表于 2014-9-18 15:10

回复 2# wzxsjz

然后呢？

wzxsjz · 发表于 2014-9-18 20:08

本帖最后由 wzxsjz 于 2014-9-18 20:26 编辑 分象限讨论即可

isee · 发表于 2014-9-18 20:11

回复 4# wzxsjz

如果有“闲”，写出来学习一下。

其妙 · 发表于 2014-9-20 16:22

回复 5# isee
$\cos (\sin x)>\sin (\cos x)\Longleftrightarrow \cos (\sin x)>\cos (\dfrac{\pi}2-\cos x)\Longleftrightarrow \sin x<\dfrac{\pi}2-\cos x\Longleftrightarrow \sin x+\cos x<\dfrac{\pi}2$

kuing · 发表于 2014-9-20 16:23

回复 6# 其妙

第二个 \iff 不 f 吧

wzxsjz · 发表于 2014-9-21 18:34

本帖最后由 wzxsjz 于 2014-9-21 19:42 编辑 只需证明对所有满足$ -\frac{\pi}{2} \le x\le\frac{3\pi}{2}的实数x $，有cos(sinx)>sin(cosx)
当$ 0 \le x\le\frac{\pi}{2}$时，$ sinx+cosx<\frac{\pi}{2}$,得出cos(sinx)>sin(cosx)
当$ -\frac{\pi}{2}\le x\le0$时，$ 0 \le -x\le\frac{\pi}{2}$，根据上述得出cos[sin(-x)]>sin[cos(-x)},即cos(sinx)>sin(cosx)
到此已经证明，当$ -\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$时，有cos(sinx)>sin(cosx)
当$ \frac{\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$时，$ -\frac{\pi}{2}< -1\le sinx\le1<\frac{\pi}{2}$,$cos(sinx)>0,$
$-\frac{\pi}{2}<-1\le cosx\le0,sin(cosx)\le0$,得出cos(sinx)>sin(cosx)
打字慢，回复得太晚，失敬！

其妙 · 发表于 2014-9-21 22:35

回复 8# wzxsjz

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[不等式] 证明：$\cos (\sin x)>\sin (\cos x)$