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kuing
Posted 2014-9-17 02:13
有点难搞，没想到啥好办法……
假设这数列有 7 项，则
（1）若公比 $q$ 为整数，则 $q\geqslant2$，那么 $a_7=a_1q^6\geqslant 100\cdot2^6>1000$，与题设矛盾；
（2）若公比 $q$ 不为整数，则必为有理数，设其为 $q=a/b$，其中 $a$, $b\in\Bbb N^+$, $a>b>1$，且 $a$, $b$ 互素。
（2-1）若 $b=2$，则 $a\geqslant3$，那么 $a_7=a_1q^6\geqslant 100\cdot(3/2)^6>1000$，与题设矛盾；
（2-2）若 $b\geqslant3$，则 $a\geqslant4$，注意到由 $a_7=a_1q^6$ 为整数可得 $b^6\mid a_1$，故 $a_1\geqslant b^6$，所以 $a_7=a_1q^6\geqslant a^6\geqslant4^6>1000$，与题设矛盾。
综上所述，不可能有 7 项。最后再举一个 6 项例子：$128$, $192$, $288$, $432$, $648$, $972$，所以该数列的最大项数为 6。
希望没证错…… |
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