证明：$m$正有理数，若$m+\frac 1m$为整数，则$m=1$

isee

证明：若$m$是正有理数，那么$m+\frac 1m$为整数的充分必要条件是$m=1$。

kuing

设 $m+1/m=k\in\Bbb N^+$，解得 $m=\bigl(k\pm\sqrt{k^2-4}\bigr)/2$，故必有 $k^2-4=p^2$，其中 $p\in\Bbb N$，则 $(k-p)(k+p)=4$，……

realnumber

若m≠1，设$m=\frac{q}{p}，(p,q)=1,p，q为正整数，至少一个大于1$,
则$m+\frac{1}{m}=\frac{p^2+q^2}{pq},而(p^2+q^2,pq)=((p-q)^2,pq)$
而$(\abs{p-q},pq)=1，$即$m+\frac{1}{m}$不是整数,矛盾.

修改了下

kuing

回复 3# realnumber

高大上的证法表示没看懂……

hsq

回复 4# kuing

有理数就是可以写成两个整数之比的数。。。故可那样设。。

kuing

回复 5# hsq

设的地方我懂，没懂的是最大公约数的变化那里……

realnumber

回复 4# kuing


    修改了下，这下好点了没，以前有错误

kuing

回复 7# realnumber

$(\abs{p-q},pq)=1$ 是咋证的

realnumber

回复 8# kuing


    已知条件有(p,q)=1,
不妨设p>q,则(p-q,p)=1，且(p-q,q)=1,自然有(p-q,pq)=1

kuing

回复 9# realnumber

大约似乎应该差不多基本上可能大致上几乎懂了……

其妙

回复 10# kuing

isee

回复  realnumber

$(\abs{p-q},pq)=1$ 是咋证的
kuing 发表于 2014-9-26 16:06

这个真的很数论了，就

kuing

回复 12# isee

所以我就反应不过来了……数论渣渣