三角形问题

chr93918

三角形的三条边a，b，c满足3≤a≤5≤b≤8≤c≤9，当此三角形的面积最大时，它的周长是 ？

chr93918

直角三角形的三条边a，b，c满足3≤a≤5≤b≤8≤c≤9，当此三角形的面积最大时，它的周长是 ？

kuing

回复 2# chr93918

直角三角形的三条边a，b，c满足3≤a≤5≤b≤8≤c≤9，当此三角形的面积最大时，它的周长是 ？ ...
chr93918 发表于 2014-9-18 17:31

直角三角形的话可以试试线性规划……

画完图，心里有数了，就可以把图扔掉，而这样写解答：

由条件知 $c$ 最大，因此 $c^2=a^2+b^2$，于是
\[S=\frac12ab=\frac12a\sqrt{c^2-a^2}\leqslant \frac12a\sqrt{81-a^2}
=\frac12\sqrt{1400-(25-a^2)(56-a^2)}\leqslant\frac12\sqrt{1400}=5\sqrt{14},\]
当且仅当 $c=9$, $a=5$ 时取等，此时 $b=2\sqrt{14}\in[5,8]$，也符合题意，所以 $S$ 的最大值为 $5\sqrt{14}$，此时周长为 $14+2\sqrt{14}$。

chr93918

谢谢kuing

isee

回复 3# kuing


    主楼也类似吧，因为：\[\require{cancel}\cancelto{\phantom{\star}c>9}{2S=ab\sin C\leqslant ab \leqslant 5\times 8.}\]取"="时，$S$最大，且为直角三角形，于是周长：$\require{cancel}\xcancel{5+8+\sqrt {5^2+8^2}}$。

    这行不。

isee

回复 5# isee


    晕迷，$c$超了，难怪楼主问的。

kuing

回复 5# isee

不限制为直角三角形的话，用调整法就行了。

kuing

续楼上
将调整法改写成式子可以这样。

三角形的三条边a，b，c满足3≤a≤5≤b≤8≤c≤9，当此三角形的面积最大时，它的周长是 ？ ...
chr93918 发表于 2014-9-18 17:30

由海伦—秦九韶公式，有
\begin{align*}
16S^2&=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4 \\
& =2\cdot 5^2b^2+2b^2c^2+2c^2\cdot 5^2-5^4-b^4-c^4-(5^2-a^2)(2b^2+2c^2-a^2-25) \\
& \leqslant 2\cdot 5^2b^2+2b^2c^2+2c^2\cdot 5^2-5^4-b^4-c^4 \\
& =2\cdot 5^2\cdot 8^2+2\cdot 8^2c^2+2c^2\cdot 5^2-5^4-8^4-c^4-(8^2-b^2)(2c^2-b^2-14) \\
& \leqslant 2\cdot 5^2\cdot 8^2+2\cdot 8^2c^2+2c^2\cdot 5^2-5^4-8^4-c^4 \\
& =2\cdot 5^2\cdot 8^2+2\cdot 8^2\cdot 9^2+2\cdot 9^2\cdot 5^2-5^4-8^4-9^4-(9^2-c^2)(97-c^2) \\
& \leqslant 2\cdot 5^2\cdot 8^2+2\cdot 8^2\cdot 9^2+2\cdot 9^2\cdot 5^2-5^4-8^4-9^4,
\end{align*}
当且仅当 $a=5$, $b=8$, $c=9$ 时等号同时成立，所以……

chr93918

kuing太牛了

isee

回复 8# kuing

看到这个结果，结合一下余弦定理，我明白了（调整）。

爪机专用

回复 10# isee

然后你还可以掩盖中间过程，直接写成一条恒等式，于是就能产生神来之笔的样子了。

kuing

续楼上

然后你还可以掩盖中间过程，直接写成一条恒等式，于是就能产生神来之笔的样子了。
爪机专用 发表于 2014-9-19 16:03

也就是
\begin{align*}
16S^2&=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4 \\
&=6336-(5^2-a^2)(2b^2+2c^2-a^2-25)-(8^2-b^2)(2c^2-b^2-14)-(9^2-c^2)(97-c^2).
\end{align*}

isee

回复 12# kuing


    这玩意，只有你会，其他人是学不来的。神配方。

    其实，我只是从几何方向考虑的，从正弦面积公式的单调性来，调整到c= 9是可以达到，面积也最大。

其妙

接3楼kuing的：设$c=9,a^2+b^2=81$，则$S=\dfrac12ab=\dfrac{(a+b)^2-c^2}4=\dfrac{(a+b)^2-81}4$，

故只需求$t=a+b$的最大值。此时顺便也把周长$t+9$也算出来了，而且也懒得用消元法了，嘿嘿！

如果注意到$a-5\leqslant0,b-5\geqslant0$，那么\begin{align*}
(a-5+b-5)^2&=(a-5)^2+(b-5)^2+2(a-5)(b-5)\\
&\leqslant(a-5)^2+(b-5)^2 \\
&=a^2+b^2+50-10(a+b)\\
&=131-10(a+b)
\end{align*}
因$t=a+b$，则$(t-10)^2\leqslant131-10t\Longrightarrow t^2-10t-31\leqslant0\Longrightarrow t\leqslant5+2\sqrt{14}\Longrightarrow S=\dfrac{(a+b)^2-81}4\leqslant5\sqrt{14}$，

此时周长为$14+2\sqrt{14}$，取等号略。

kuing

回复 12# kuing

干脆写个一般等式，设 $f(a,b,c)=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$，则
\begin{align*}
f(a,b,c)={}&f(a_0,b_0,c_0) - (a_0^2 - a^2) (-a_0^2 - a^2 + 2 b^2 + 2 c^2) \\
& - (b_0^2 - b^2) (-b_0^2 - b^2 + 2 c^2 + 2 a_0^2) - (c_0^2 - c^2) (-c_0^2 - c^2 + 2 a_0^2 + 2 b_0^2).
\end{align*}

其妙

回复  kuing

干脆写个一般等式，设 $f(a,b,c)=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$，则
\begin{align*} ...
kuing 发表于 2014-9-21 01:11

，这个是包治百病的恒等式，

kuing

回复 16# 其妙

不一定，得看条件怎样