来自人教群的$x^2+(y-1)^2=y^2+(z-1)^2=z^2+(x-1)^2$反例

kuing

粤L教师supergp(3721*****) 2014-9-22 22:31:28
由x^2+(y-1)^2=y^2+(z-1)^2=z^2+(x-1)^2，怎么得到x=y=z

刚开始时考虑了一段时间没啥妙法，后来老实消元后发现居然是不成立的，擦，下面给出一个简单的反例。

设 $a\in\Bbb R$ 满足 $a^3-4a+8=0$，下面证明 $x=a$, $y=a^2/2$, $z=0$ 是原方程组的一个解，亦即要验证如下等式成立
\[a^2+\left( \frac{a^2}2-1 \right)^2=\left( \frac{a^2}2 \right)^2+(0-1)^2=0^2+(a-1)^2,\]
左边的等式展开后显然成立，右边的等式因式分解等价于 $a(a^3-4a+8)=0$，由所设知成立，所以上式成立，可见原方程组并不能得出 $x=y=z$。

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一年后类似问题再现：

陕D教师tan9p(3653*****)  18:53:30
这个能不能解出来 x=y=z 啊？
z^2 - y^2 = 2(x-y)
x^2 - z^2 = 2(y-z)
川X教师咪哆<liuzj288*******com>  18:55:48
无数多个解吧
陕D教师tan9p(3653*****)  18:57:21
是啊 应该是x=y=z 但怎么解呢？
浙A教师王(2433*****)  18:59:08
好像罗增儒的有本书上有的
陕D教师tan9p(3653*****)  18:59:34
说下思路呢？

……

粤A爱好者战巡(3705*****)  0:49:13
不能，这里强行令z=0，实际上是四个解

阅A爱好者渣k(249533164)  0:53:43
突然想起来，这个问题曾经出现过，见：
forum.php?mod=viewthread&tid=3045
虽然形式有点不同，但实际上差不多
阅A爱好者渣k(249533164)  0:58:44
真奇怪，为什么同样的错误问题会被问两遍，到底有啥背景

kuing

背景：与2010年全国2文/理数11有关

与正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三条棱 AB, CC1 , A1D1 所在直线的距离相等的点   （　）
A. 有且只有 1 个     B. 有且只有 2 个     C. 有且只有 3 个     D. 有无数个

适当地建系后，由 $x^2+(y-1)^2=y^2+(z-1)^2=z^2+(x-1)^2$ 所确定的点集就是满足题意的。

故此，由1楼的反例可见，此题除了 B1D 这条直线之外，还有其他的点满足题意。

1楼仅举了一个简单例子来说明反例存在，下面进一步说明这样的反例也是无数个的。
由已知等式消 $x$ 得
\[(y-z)(y^3+y^2 z-4 y^2-y z^2-4 y z+4 y-z^3+4 z-8)=0,\]
那么，我们随便取一个大于 $1/2$ 的 $y$，由于第二个括号里是三次式，故可以解出除了 $y=z$ 之外的一个实数的 $z$，此时再代回 $x^2=y^2-(y-1)^2+(z-1)^2$ 中，由于 $y>1/2$，右边必为正，所以也能解出实数的 $x$，这就说明了反例是无数的。

kuing

也可以看成是两个马鞍面相交
分别作出 $x^2+(y-1)^2=y^2+(z-1)^2$ 与 $y^2+(z-1)^2=z^2+(x-1)^2$，在 $-5\le x,y,z\le 5$ 范围内的图象：


实际上其他相交的地方都在单位正方体之外，也就是说如果限制在正方体内，应该就只有 $x=y=z$ 这个实数解，有空看来也可以证明一下