等腰梯形求角度

乌贼

$ABCD$为等腰梯形，$\triangle ABP$为等边三角形，$E,F$分别为 $BC,PD$中点，求证$\angle BEF=60^\circ$

kuing

来个复数法玩玩，逗一下楼主

建立复数坐标系，使 $BC$ 平行于实轴。记 $\vv{AB}$ 对应的复数为 $z_{AB}$，再记 $\omega=\cos60\du+i\cdot\sin60\du$，则 $\omega^2=\cos120\du+i\cdot\sin120\du=-\overline\omega$。
由条件得
\begin{align*}
z_{CD}&=-\overline{z_{BA}}, \\
z_{BP}&=z_{BA}\cdot\omega,
\end{align*}
则
\[2z_{EF}=z_{CD}+z_{BP}=z_{BA}\cdot\omega-\overline{z_{BA}},\]
于是
\[2z_{EF}\cdot\omega=z_{BA}\cdot\omega^2-\overline{z_{BA}}\cdot \omega=z_{BA}\cdot\omega^2+\overline{z_{BA}}\cdot\overline{\omega^2}=z_{BA}\cdot\omega^2+\overline{z_{BA}\cdot\omega^2}\in\mbb R,\]
由此可见 $\angle BEF=60\du$。

乌贼

回复 2# kuing
看不懂
如图：
   先证$ ADQ $三点共线，连接$ AI_A，AQ，PM，MI_A，PK，MK $，因为$ AMQP $及$ PMI_AK $四点共线。有\[ \angle MAQ=\angle MPQ=\angle MKI_A \]连接$ ID $，作$ IN\perp AC $，垂足为$ N $。有\[ \angle AID=\angle MI_AK\\\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{AI}{IN}=\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{GI_A}{MI_A}=\dfrac{MI_A}{I_AK }\]得\[ \triangle AID\sim \triangle KI_AM\\\riff \angle IAD=\angle MKI_A=\angle MAQ \]所以$ ADQ $三点共线。
再证$ ADK $三点共线。同理\[ \angle AID=\angle MI_AK \\\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{AI_A}{I_AK}\\\riff \triangle AID\sim \triangle AI_AK\\\riff \angle IAD=\angle I_AAK \]即$ ADK $三点共线。
因此$ ADQK $四点共线。
设$ AK $交圆$ I_A $于$ J $。有\[ \angle I_APK=\angle I_AMK=\angle I_AAK+\angle MKA=\angle MKI_A+\angle MKA=\angle I_AKJ=\angle I_AJK \]所以$ PJMI_AK $五点共园。得\[ \angle JPI_A=\angle JKI_A \]连接$ EJ $并延长交$ PI_A $于$ H $。有$ APHJ $四点共园。故\[ \angle JAH=\angle JPH=\angle JKI_A\\\riff AH\px EK\\\riff AH\perp DE \]证毕

爪机专用

回复 3# 乌贼

就是要这效果[得意]

乌贼

回复 4# 爪机专用
回个都看得懂的
取$AD,BD$中点$M,N$，连接$MF,MN,ME,EN$，有$NF=NM=NE=MF=\dfrac1{2}AB\riff\triangle MNF$为等边三角形，$N$为$\triangle MEF$外心，有$\angle MEF=\dfrac1{2}\angle MNF=30^\circ$，又$ME\perp BC$，故$\angle FEB=60^\circ$

kuing

回复 5# 乌贼

看图即懂

kuing

话说，你也应该多玩点代数的，也很好玩的啊

乌贼

回复 7# kuing
不干，想想北师大那$57$岁老叫兽

乌贼

被雷劈了，这题是从这的变式：tieba.baidu.com/p/3307840386
现在却想不起$EF$是怎么平行$DG$的

爪机专用

回复  kuing
不干，想想北师大那$57$岁老叫兽
乌贼 发表于 2014-9-25 04:23

不了解，你介绍一下是啥事？

乌贼

回复 10# 爪机专用
怀疑用脑过多，得老年痴呆症。

kuing

……

isee

回复  爪机专用
回个都看得懂的
取$AD,BD$中点$M,N$，连接$MF,MN,ME,EN$，有$NF=NM=NE=MF=\dfrac1{ ...
乌贼 发表于 2014-9-25 02:08

这个辅助线很绝的，不容易想的。

当A与D重合的时候就是很常见的特殊情况了。

isee

来个复数法玩玩，逗一下楼主

建立复数坐标系，使 $BC$ 平行于实轴。记 $\vv{AB}$ 对应的复数为 $z_ ...
kuing 发表于 2014-9-23 04:21

    比较一下，如果用向量符号的话，麻烦。

   这个用解析几何，简单且通俗。

isee

如图建立直角坐标系，由点$A$求$P$的坐标，而知$F$点，则，再算$k_{EF}$的值即可.


\[F\left(\dfrac {a-\sqrt{3}b-c}4,\dfrac {-\sqrt{3}a+b+\sqrt{3}c}4\right)\]

kuing

回复 15# isee

还是有点计算量啊，复数的就几乎没有计算量……

乌贼

回复 9# 乌贼
链接中原题一样可以：等边$\triangle ABC$，$E$为$\triangle ABC$外一点，$AD//CE,CD=DE,BF=FE$，求$\angle ADF$。

isee

回复  isee

还是有点计算量啊，复数的就几乎没有计算量……
kuing 发表于 2014-9-25 21:03

这对复数的性质实在太熟悉了，行如流水！

学习了。

将此题复数法与乌贼那个外心的证法，均转走了。

kuing

回复 18# isee

转哪去了？

isee

回复 19# kuing


    个人百度空间罢了