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kuing
posted 2014-9-26 15:58
海伦公式
\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a+b)}}4,\]
秦九韶公式
\[S=\sqrt{\frac14\left( a^2c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}2 \right)^2 \right)}=\frac{\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}}4,\]
所以实际上有因式分解
\[2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a+b),\]
故此原题有
\[(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=-24=-2^3\times3,\]
而注意到左边各因式的奇偶性相同，所以各因式只能都为偶数且非零，而右边 $2$ 的次数只有 $3$，矛盾，即无解。 |
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