求证存在一直线与所有多边形都相交

abababa

平面上给定有限个多边形，其中任意两个多边形都有公共点，求证存在一直线与所有多边形都相交

abababa

发一位网友的证明，大致思路看懂了，就是中间觉得有点繁琐：
建立坐标系，设$f$将多边形$C_i$上的点投影到横轴，于是$f(C_i)$为线段$L_i$
不妨设当$i < j$时$L_i$的左端点小于$L_j$的左端点
设$[x_1,x_2) = T_1 = L_1-L_2, [x_2,x_3] = T_2 = L_1 \cap L_2, (x_3,x_4] = T_3 = L_2-L_1$，显然$T_1, T_2, T_3$两两不相交
假设$L_3 \cap T_2 = \varnothing$，由于$L_3 \cap L_1 \neq \varnothing$，所以$\exists y_1 \in L_3 \cap T_1, x_1 \le y_1 < x_2$，同理有$\exists y_2 \in L_3 \cap T_3, x_3 < y_2 \le x_4$
而$L_3$连续，所以$[y_1, y_2]$连通，则由于$y_1 < x_2 < x_3 < y_2$，所以$[y_1, y_2]$覆盖$T_2$，这与$L_3 \cap T_2 = \varnothing$矛盾
所以$\exists f(P) \in L_3 \cap T_2 = L_1 \cap L_2 \cap L_3$，同理有$\exists f(P) \in \displaystyle\bigcap_{i=1}^{n} L_i$，于是过点$P$的直线与所有多边形都相交

abababa

借助网友的思路，我试着简化一下，大家看看有没有什么错误：
假设所有投影线段没有公共点，那么存在两条投影线段没有公共点，这样就存在两个多边形没有公共点，与已知矛盾
所以假设错误，即所有投影线段至少有一个公共点，这样过这个点作y轴的平行线，这条直线就和所有多边形都相交

realnumber

意思看明白了，这类问题的推理怎样算严谨，还是不清楚。