两道三角函数试题

其妙

1．己知 $\sin \theta(1-\sin \theta)=\left(\cos 10^{\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left[\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin \left(\theta+10^{\circ}\right)\right]$其中 $\theta \in\left(0^{\circ}, 70^{\circ}\right)$ 求 $\theta$ 的度数。

2．己知 $\alpha, \beta$ 为锐角且 $x \cdot\left(\alpha+\beta-\frac{\pi}{2}\right)>0$ 求证： $\left(\frac{\cos \alpha}{\sin \beta}\right)^x+\left(\frac{\cos \beta}{\sin \alpha}\right)^x<2$.

乌贼

回复 3# Tesla35
题库。

kuing

回复 1# 其妙

第一题有什么背景么？
利用软件，观察到除了有一个解是 $10\du$ 以外，还有另一个比 $46\du$ 稍大一点点的解。

kuing

由和差化积有
\begin{align*}
(\cos10\du-\cos30\du)(\cos30\du+\cos70\du)
&=2\sin10\du\sin20\du\cdot2\cos20\du\cos50\du\\
&=2\sin10\du\sin^240\du\\
&=\sin10\du(1-\cos80\du),
\end{align*}
可见 $\theta=10\du$ 是其中一个解。

用软件画图，有

左边的零点上面已经证实了是 $10\du$，而右边的零点虽然看上去像是 $46\du$，但代入后发现：

是个很小的正数，可见实际上右边的零点比 $46\du$ 要大一点点。

其妙

是一个学生网友自编 的题目

kuing

回复 9# 其妙

我感觉有可能是从平面几何题而来的，你看能不能问清楚

其妙

回复 10# kuing
那网友是谁都不知道了，一个多月了