空间中$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4EF^2$

kuing

$A$, $B$, $C$, $D$ 是空间中任意四点，$E$, $F$ 分别为 $AC$, $BD$ 的中点，求证
\[AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4EF^2.\]

kuing

我用向量证的，虽然不复杂，但感觉不太好看。
\begin{align*}
& AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2 \\
={}&AB^2+\bigl(\vv{AB}-\vv{AC}\bigr)^2+\bigl(\vv{AC}-\vv{AD}\bigr)^2 +AD^2-AC^2-\bigl(\vv{AB}-\vv{AD}\bigr)^2 \\
={}&AB^2+AC^2+AD^2 -2\vv{AB}\cdot\vv{AC}-2\vv{AC}\cdot\vv{AD}+2\vv{AB}\cdot\vv{AD} \\
={}&\bigl(\vv{AB}+\vv{AD}-\vv{AC}\bigr)^2 \\
={}&\bigl(2\vv{AF}-2\vv{AE}\bigr)^2 \\
={}&4EF^2.
\end{align*}

求更帅的证法。

[哈欠]

isee

几何里的常识等式，向量法应该算是最好的了，直接不区别平面与空间，过程完全一样。

kuing

回复 3# isee

但是向量法也许也可以有更有型的证法，比如更对称一些的

其妙

同意isee的说法，向量法应该算是最好的了，
kk的方法相当于将原点看成了点A了（只是相当于哈），
也可以任意选原点，那样的话，似乎具有一般性，似乎要对称一些？
没动笔，乱说的哈，