继续 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域为 $[ka,kb]$ 类的题

kuing

承接旧版论坛的这贴：kkkkuingggg.haotui.com/thread-1075-1-1.html，继续收集这类题。
对于函数 $f(x)$ ，若在其定义域内存在两个实数 $a, b(a<b)$ ，使当 $x \in[a, b]$ 时，$f(x)$ 的值域也是 $[a, b]$ ，则称函数 $f(x)$ 为＂科比函数＂．若函数 $f(x)=k+\sqrt{x+2}$ 是＂科比函数＂， 实数 $k$ 的取值范围是      

其妙

8．设函数 $f(x)=-\frac{x}{1+|x|}(x \in R)$ ，区间 $M=[a, b](a<b)$ ，集合 $N=\{y \mid y=f(x), x \in M\}$ ，则使 $M=N$ 成立的实数对 $(a, b)$ 有（ ）

A． 0 个
B． 1 个
c． 2 个
D．无数多个

Tesla35

题库哥又来了：
1 已知函数 $f(x)=-2 x^2+b x+c$ 在 $x=1$ 时有最大值 $1,0<m<n$，且 $x \in[m, n]$ 时，$f(x)$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{n}, \frac{1}{m}\right]$ ，试求 $m, n$ 的值．
（2008 年江苏省数学竞赛试题）
4 已知函数 $f(x)=\left|1-\frac{1}{x}\right|$．
（1）是否存在实数 $a, b(a<b)$ 使得函数的定义域和值域都是 $[a, b]$ ？若存在，请求出 $a, b$ 的值；若不存在，请说明理由；
（2）若存在实数 $a, b(a<b)$ 使得函数的定义域是 $[a, b]$，值域是 $[m a, m b](m \neq 0)$ ，求实数 $m$ 的取值范围．
（2005 年天津市数学竞赛试题）
5 定义函数 $f_n(x)=(1+x)^n-1, x>-2, n\inN^*$．是否存在区间 $[a, b] \subseteq(-\infty, 0]$ ，使函数 $h(x)=f_3(x)-f_2(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域是 $[k a, k b]$ ？若存在，求出最小的 $k$ 值及相应的区间 $[a, b]$ ，若不存在，请说明理由．
（2007 年湖北省数学竞赛试题）

爪机专用

回复 3# Tesla35

585题库

其妙

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若满足：（1）$f(x)$ 在 $D$ 内是单调函数； （2）存在 $[a, b] \subseteq D(b>a)$ ，使得 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ，那么就称 $y=f(x)$ 是定义在 $D$ 的＂成功函数＂．若函数 $g(x)=\log _a\left(a^{2 x}+t\right)$ $(a>0, a \neq 1)$ 是定义在 $R$ 的＂成功函数＂，则 $t$ 的取值范围为（）
A．$\left(-\infty, \frac{1}{4}\right)$
B．$\left(\frac{1}{4}, 1\right)$
C．$\left(0, \frac{1}{4}\right)$
D．$\left(0, \frac{1}{4}\right]$

kuing

回复 5# 其妙

又一个名字……擦

Tesla35

这种题应该有个源头。一定是哪年竞赛或高考出了一个题。后来大家抄来抄去

kuing

585刚才给我发的：中考题
8．（2013－长沙）设 $a, ~ b$ 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 $a \leqslant x \leqslant b$ 的实数 $x$ 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 $[a, b]$ ．对于一个函数，如果它的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 满足：当 $m \leqslant x \leqslant n$ 时，有 $m \leqslant y \leqslant n$ ，我们就称此函数是闭区间 $[m, n]$ 上的＂闭函数＂．
（1）反比例函数 $y=\frac{2013}{x}$ 是闭区间 $[1,2013]$ 上的＂闭函数＂吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数 $y=k x+b(k \neq 0)$ 是闭区间 $[m, n]$ 上的＂闭函数＂，求此函数的解析式；
（3）若二次函数 $y=\frac{1}{5} x^2-\frac{4}{5} x-\frac{7}{5}$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的 ＂闭函数＂，求实数 $a, ~ b$ 的值．

第一章

回复 7# Tesla35
源头就不知，5#其妙那是04年江苏的

kuing

[函数] 2015宁波高一期末卷

realnumber

bi函数,科比函数,2B函数,成功函数,这...

isee

12．设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若满足条件：存在 $[a, b] \subseteq D$ ，使 $f(x)$ 在 $[a, b]$上的值域为 $\left[\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right]$ ，则称 $f(x)$ 为＂倍缩函数＂．若函数 $f(x)=\ln x+t$ 为＂倍缩函数＂，则实数 $t$ 的取值范围是
A．$(-\infty, \ln 2-1)$
B．$(-\infty, \ln 2-1]$
C．$(1-\ln 2,+\infty)$
D．$[1-\ln 2,+\infty)$

lemondian

isee 发表于 2018-1-26 08:37

都在贴这个，有玄机？写个通法呗

力工

通法？，有单调性时，构造函数呗，单调性变化讨论呗。