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爱好者爱因斯坦(5747*****) 16:17:13
题目：设 $x$, $y$, $z$ 是满足 $x+y+z=1$ 的正实数，求证
\[\frac{z(x+1-zx)}y+\frac{x(y+1-xy)}z+\frac{y(z+1-yz)}x\geqslant \frac{11}3.\]
先证明当 $x+y<1$ 时有
\[\frac{y+1-xy}{1-x-y}\geqslant 10x+13y-4,\]
事实上
\[y+1-xy-(10x+13y-4)(1-x-y)=\frac1{13}(3x-1)^2+\frac1{13}(11x+13y-8)^2,\]
所以
\begin{align*}
\sum\frac{x(y+1-xy)}z&=\sum\frac{x(y+1-xy)}{1-x-y} \\
& \geqslant \sum x(10x+13y-4) \\
& =10\sum x^2+13\sum xy-4\sum x \\
& =\frac72\sum x^2+\frac{13}2\left( \sum x \right)^2-4\sum x \\
& \geqslant \frac76\left( \sum x \right)^2+\frac{13}2\left( \sum x \right)^2-4\sum x \\
& =\frac{11}3.
\end{align*}
这题用来作切平面方法和拉格朗日配方的范例挺好…… |
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其妙
Post time 2014-10-7 22:01
