求两个几何等式的向量证法

abababa

$\triangle ABC$中$O,I,H$分别是外心、内心、垂心，$R,r$分别是外接圆、内切圆半径，$\rho$是垂足$\triangle DEF$的内切圆半径，求证
1：$IH^2=2r^2-2R\rho$
2：$OH^2=R^2-4R\rho$
看到了几何证法，有没有简单一点的向量证法

wzxsjz

ht
花体
滑梯
好题

其妙

，心距公式，

kuing

几何证法可以分享一下不？

abababa

回复 4# kuing

kuing

回复 5# abababa

thanks!

abababa

回复 4# kuing

显然$CEHD$共圆，所以$\angle HCE = \angle HDP$，而$\angle HEC = \angle HPD = 90^\circ$，所以$\triangle HCE \sim \triangle HDP$
于是$\frac{HE}{HC} = \frac{HP}{HD}$，即$\frac{HA \cos C}{HC} = \frac{\rho}{HD}$，所以$HA \cdot HD = \frac{\rho HC}{\cos C}$
由圆幂，$OH^2 = R^2-HA \cdot HT = R^2-HA \cdot 2HD = R^2-2\rho\frac{HC}{\cos C}$
由于$BC \cos C = CE = HC \cos\angle HCE = HC \sin A$，所以$2R \sin A \cos C = HC \sin A$，即$\frac{HC}{\cos C} = 2R$
所以$OH^2 = R^2-4R\rho$

kuing

话说，这些都有没有“锐角三角形”的限制啊？

abababa

帮助解答的网友只画了草图，有些字母也没标，我试着根据他的证明和草图画了图，不知道有没有标错的地方。
而且第一个$IH^2$的证明还是觉得很麻烦，总感觉有简单的证明方法。

abababa

回复 8# kuing
三角形的形状没有限制。应该是都能算才对，这些都是三角形重要的几个心。

kuing

回复 10# abababa

那证明是不是也应该分个类，钝角的时候有的式子似乎要改改

abababa

回复 11# kuing
$IH^2$的证明别说钝角三角形，就这个我看着就有点晕了，后一个$OH^2$的还行。我想如果有向量方法就方便了，这也是发这一帖的初衷。