求$xy$的最小值

longzaifei

已知 $x, y, z$ 是满足$x^2+y^2+z^2=7, xz+xy+yz=4$的实数, 求$xy$的最小值

longzaifei

我算出来是$\dfrac{1}{4}$,有点繁琐，不知道对不对！！

战巡

回复 1# longzaifei

\[x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2=15\]
\[x+y=±\sqrt{15}-z\]
\[xy=4-z(x+y)=4-z(±\sqrt{15}-z)\ge\frac{1}{4}\]
即$z=±\frac{\sqrt{15}}{2}$时有极值，至于$x,y$的值我懒得求了，得解四次方程，但反正用软件验算是存在的

longzaifei

回复 3# 战巡
谢谢。比我的方法简单多了。$xy$取得最小值时，$x=\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt{11}}{4},y=\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{4}$