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kuing
Post time 2014-10-15 15:26
几何 + 代数  简单易想 [得意]
设两圆的另一交点为 $B$，先证明直线 $M_1M_2$ 恒过 $B$。
当 $M_1$, $M_2$ 处于图中那样的位置时，则 $\angle M_1BA=\angle M_1O_1A/2$, $\angle M_2BA=180\du-\angle M_1O_2A/2$，依题意有 $\angle M_1O_1A=\angle M_1O_2A$，故 $\angle M_1BA+\angle M_2BA=180\du$，故 $M_1M_2$ 经过 $B$。当 $M_1$, $M_2$ 处于其他位置时类似可证。
现在，我们以 $B$ 为原点建立直角坐标系，则可设两圆方程分别为
\begin{align*}
\odot O_1&:x^2+y^2+D_1x+E_1y=0, \\
\odot O_2&:x^2+y^2+D_2x+E_2y=0,
\end{align*}
由于直线 $M_1M_2$ 恒过 $B$，可设直线 $M_1M_2:y=kx$，再设 $M_1(x_1,kx_1)$, $M_2(x_2,kx_2)$，线段 $M_1M_2$ 的垂直平分线为 $L$，则不难求出
\[L:2x+2ky-(1+k^2)(x_1+x_2)=0,\]
将 $M_1M_2:y=kx$ 与两圆方程分别联立，易得
\[x_1=-\frac{D_1+E_1k}{1+k^2},x_2=-\frac{D_2+E_2k}{1+k^2},\]
故
\[L:2x+2ky+D_1+E_1k+D_2+E_2k=0,\]
整理为
\[L:(2y+E_1+E_2)k+2x+D_1+D_2=0,\]
所以线段 $M_1M_2$ 的垂直平分线恒过定点
\[\left( -\frac{D_1+D_2}2,-\frac{E_1+E_2}2 \right),\]
即为所求。 |
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乌贼
Post time 2014-10-15 15:07
