那个经典的 $S_n=\frac12\bigl(a_n+\frac1{a_n}\bigr)$

kuing

题目：已知正数数列 $\{a_n\}$ 满足
\[S_n=\frac12\left(a_n+\frac1{a_n}\right),\]
求 $a_n$。

这题通常都化为 $S_n$ 来解，先求 $S_n$ 再求 $a_n$，其实直接化为 $a_n$ 来求也是可以的。

易知 $a_1=1$，由
\begin{align*}
S_n&=\frac12\left( a_n+\frac1{a_n} \right), \\
S_{n-1}&=\frac12\left( a_{n-1}+\frac1{a_{n-1}} \right),
\end{align*}
相减得
\[a_n=\frac12\left( a_n-a_{n-1}+\frac1{a_n}-\frac1{a_{n-1}} \right),\]
即
\[a_n-\frac1{a_n}=-a_{n-1}-\frac1{a_{n-1}},\]
两边平方得
\[\left( a_n-\frac1{a_n} \right)^2=\left( a_{n-1}+\frac1{a_{n-1}} \right)^2,\]
即
\[\left( a_n+\frac1{a_n} \right)^2=\left( a_{n-1}+\frac1{a_{n-1}} \right)^2+4,\]
故
\[\left( a_n+\frac1{a_n} \right)^2=\left( a_1+\frac1{a_1} \right)^2+4(n-1)=4n,\]
即
\[a_n+\frac1{a_n}=2\sqrt n,\]
解得
\[a_n=\sqrt n-\sqrt{n-1}.\]

琉璃幻

你这么屌你家里人知道么？

羊羊羊羊

只是觉得撸$S_n$顺点。

\begin{align*}
S_n&=\frac12\left(a_n+\frac1{a_n}\right)\\
2S_n&=S_n-S_{n-1}+\frac1{\left(S_n+S_{n-1}\right)}\\
1&=S_n^2-S_{n-1}^2\\
\end{align*}

\begin{align*}
a_1&=S_1=\frac12\left(a_1+\frac1{a_1}\right)且a_n为正数数列\\
\Rightarrow a_1&=1\
\end{align*}

故，$S_n^2$为公差为1的等差数列：
\begin{align*}
S_n^2&=a_1+(n-1)=n\\
S_n&=\sqrt n\\
a_n&=S_n-S_{n-1}=\sqrt n-\sqrt{n-1}
\end{align*}

kuing

回复 3# 羊羊羊羊

撸 S 的一般人都会，我发这个只是为了说明撸 a 也可行，因为很多人以为撸 a 行不通

羊羊羊羊

回复  羊羊羊羊

撸 S 的一般人都会，我发这个只是为了说明撸 a 也可行，因为很多人以为撸 a 行不通 ...
kuing 发表于 2014-10-17 11:35

嗯，也是。撸a和撸S道理一样，得多看一层，结果还是得拉去平方，看到$a_n+\frac1{a_n}$就会想到。。。

战巡

回复 4# kuing


$S$能lu得动$a$就能lu得动啊，这不是很显然的么