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bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3105729&extra=page=1
已知函数$f(x)=e^x-ax^2$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线在$x$轴上的截距为$\frac{1}{2-e}$
(1)求实数$a$的值
(2)设$g(x)=f(2x)-f(x)$，求证$g(x)$在$R$上为增函数
第一问易求$a=1$，就不废话了
第二问感觉略坑啊
\[g(x)=f(2x)-f(x)=e^{2x}-e^x-3x^2\]
\[g'(x)=2e^{2x}-e^x-6x\]
也就是证明这个恒大于$0$
如果硬来的话...令$y=e^x>0$，就变成证明
\[g'(x)=h(y)=2y^2-y-6\ln(y)>0\]
\[h'(y)=4y-1-\frac{6}{y}=0\]
\[y=\frac{1}{8}(1+\sqrt{97})<\frac{11}{8}\]
此时有$4y^2-y=6, 2y^2-y=3-\frac{y}{2}$，于是
\[h(y)=3-\frac{y}{2}-6\ln(y)>3-\frac{11}{8}-6\ln(1+\frac{3}{8})>\frac{37}{16}-6·\frac{3}{8}=\frac{1}{16}>0\]
这就证出来了
其实还有一招.......
对$g'(x)$马克劳林展开得到
\[1-3x+\frac{7}{2}x^2+\frac{5}{2}x^3+o(x^4)\]
由于显然$2e^{2x}-e^x$的每一阶导数都为正，不难证明后面$o(x^4)$里面每一项的系数都为正，而且也显然$x<0$时$g'(x)>0$
又易证$-3x+\frac{7}{2}x^2\ge -\frac{9}{14}$
那么这个东西就有
\[1-3x+\frac{7}{2}x^2+\frac{5}{2}x^3+o(x^4)\ge 1-\frac{9}{14}+\frac{5}{2}x^3+o(x^4)=\frac{5}{14}+\frac{5}{2}x^3+o(x^4)>0\]
后来研究了一下，如果改成$2e^{2x}-e^x-kx>0$恒成立
那么：
\[i(x)=\frac{2e^{2x}-e^x}{x}\]
\[i'(x)=\frac{e^x(e^x(4x-2)-x+1)}{x^2}=0\]
\[e^x(4x-2)-x+1=0\]
这个方程没有代数解，数值解大概是在$x\approx 0.399$，得到$k_{max}\approx 7.398$ |
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