小坑之二：$\sum_{i=1}^{m-1}|Y_{i+1}-Y_i|$的最大值

羊羊羊羊

小坑之二：

小坑故事多，充满喜和乐。若是你到小坑来，收获特别多。

已知数m，使$\sum_{i=1}^{m-1}|x_{i+1}-x_i|=m$成立。$m\in N^+$，$x_i\in R$。

令$Y_n=\frac1{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，$n\in N^+$。求：

$\sum_{i=1}^{m-1}|Y_{i+1}-Y_i|$的最大值。

战巡

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最烦绝对值，性质烂的一逼，强烈要求改成平方和

羊羊羊羊

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反正都是编，你继续改编嘛，我们再来过，你要改啥样？

话说，你怎么微信密水了？

Tesla35

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屏蔽了吧。哈哈哈哈红红火火恍恍惚惚

战巡

回复 3# 羊羊羊羊


你们天天发些毫无意义的东西，果断屏蔽了

kuing

确实不是无聊也不看微信……

羊羊羊羊

渣5居然退了，赶紧回来报道。

依题意可得：
\begin{align*}
Y_{n+1}-Y_n&=\frac1{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_i-\frac1{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\\
&=\frac1{\left(n+1\right)n}\left(nx_{n+1}-\sum_{i=1}^{n}x_i\right)\\
&=\frac1{\left(n+1\right)n}\sum_{i=1}^{n}i\left(x_{i+1}-x_i\right)\\

\end{align*}

故齐次相加（为显化步骤，不做双重$\sum$）可得：

\begin{align*}

\sum_{i=1}^{n}|Y_{i+1}-Y_i|&=|x_2-x_1|\cdot 1\cdot \sum_{i=1}^n\frac1{i\left(i+1\right)}+|x_3-x_2|\cdot 2\cdot \sum_{i=2}^n\frac1{i\left(i+1\right)}+\cdots +|x_{n+1}-x_n|\cdot n\cdot \sum_{i=n}^n\frac1{i\left(i+1\right)}\\
&\leqslant \left(1-\frac1{n+1}\right)\sum_{i=1}^{n}|x_{i+1}-x_i|
\end{align*}

所以：
\begin{align*}

\sum_{i=1}^{m-1}|Y_{i+1}-Y_i|
&\leqslant \left(1-\frac1m\right)\sum_{i=1}^{m-1}|x_{i+1}-x_i|=m-1\\
\end{align*}

大羊系列

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最烦绝对值，性质烂的一逼，强烈要求改成平方和
战巡 发表于 2014-10-18 04:05

平方和呢？