求通项公式

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已知$a_1=\frac{1}{2}, a_2=\frac{5}{4}, a_3=\frac{1}{2}$ 且 $a_{n+3}=\frac{1}{2} a_{n+2}+\frac{1}{2} a_{n+1}-\frac{1}{8} a_n(n \inN_+)$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

爪机专用

特征根啊，不过都是三次方程的根，用卡当公式写出来也没意思。。。

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卡当公式是不可以的！

战巡

回复 4# 957683999


什么不可以？不可以你做给我看？
本身难度摆在这里，不管你用什么方法，都不可能绕开解三次方程，到头来还是要动卡当公式

羊羊羊羊

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什么不可以？不可以你做给我看？
本身难度摆在这里，不管你用什么方法，都不可能绕开解 ...
战巡 发表于 2014-10-29 00:03

三次无初等解的答案，也就是凑不出可以看的东西了。

kuing

什么不可以？不可以你做给我看？
本身难度摆在这里，不管你用什么方法，都不可能绕开解三次方程，到头来还是要动卡当公式
战巡 发表于 2014-10-29 00:03

就这道题来说“不可能绕开”这一点我觉得未必。
虽然由特征根法可得其通项可表为 $c_1x_1^n+c_2x_2^n+c_3x_3^n$ 型，但由于离散，同一数列的通项公式不唯一，说不准存在其他形式的 $f(n)$ 使之当 $n$ 仅为正整数时有 $f(n)=c_1x_1^n+c_2x_2^n+c_3x_3^n$，所以难度未必守恒。
不像这道题 forum.php?mod=viewthread&tid=3129 ，这个就真的难度守恒了。

战巡

回复 7# kuing


我看不行，通解的形式实际上相当固定，你即便是弄出$a_{n+1}+pa_{n}+qa_{n-1}=k(a_n+pa_{n-1}+qa_{n-2})$，然后逐步解下去也不行，光是解这三个系数就免不了动三次方程了

羊羊羊羊

除非是间隔递进之类的猜证。这题显然达不到。